4602: [Sdoi2016]齿轮
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Description
现有一个传动系统，包含了N个组合齿轮和M个链条。每一个链条连接了两个组合齿轮u和v，并提供了一个传动比x
: y。即如果只考虑这两个组合齿轮，编号为u的齿轮转动x圈，编号为v的齿轮会转动y圈。传动比为正表示若编号
为u的齿轮顺时针转动，则编号为v的齿轮也顺时针转动。传动比为负表示若编号为u的齿轮顺时针转动，则编号为v
的齿轮会逆时针转动。若不同链条的传动比不相容，则有些齿轮无法转动。我们希望知道，系统中的这Ｎ个组合齿
轮能否同时转动。
Input
有多组数据，第一行给定整数Ｔ，表示总的数据组数，之后依次给出Ｔ组数据。每一组数据的第一行给定整数Ｎ和
Ｍ，表示齿轮总数和链条总数。之后有Ｍ行，依次描述了每一个链条，其中每一行给定四个整数u，v，x和y，表示
只考虑这一组联动关系的情况下，编号为u的齿轮转动x圈，编号为v的齿轮会转动y圈。请注意，x为正整数，而y为
非零整数，但是y有可能为负数。
T<=32，N<=1000，M<=10000且x与y的绝对值均不超过100
Output
输出T行，对应每一组数据。首先应该输出标识这是第几组数据，参见样例输出。之后输出判定结果，如果N个组合
齿轮可以同时正常运行，则输出Yes，否则输出No。
Sample Input
2
3 3
1 2 3 5
2 3 5 -7
1 3 3 -7
3 3
1 2 3 5
2 3 5 -7
1 3 3 7
Sample Output
Case #1: Yes
Case #2: No
HINT
Source
【民间做法】：DFS
//对于每组齿轮(u, v)连边，权值为y/x（反向边x/y）
//dfs 判断矛盾
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef double real;
inline void read(int &x){
register char ch=getchar();int f=1;x=0;
while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
x*=f;
}
const int N=1e5+5;
const real eps=1e-6;
struct edge{int v,next;real w;}e[N<<1];int tot,head[N];
int T,n,m,cas;
bool vis[N],flag;
real val[N];
inline void add(int x,int y,real z){
e[++tot].v=y;e[tot].w=z;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;
}
inline bool dfs(int x,real sp){
vis[x]=1;
val[x]=sp;
for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
if(!vis[e[i].v]){
if(dfs(e[i].v,sp*e[i].w))
return 1;
}
else{
if(fabs(val[e[i].v]-sp*e[i].w)>eps)
return 1;
}
}
return 0;
}
inline void clr(){
tot=0;flag=0;
memset(head,0,(n+1)<<2);
memset(vis,0,(n+1)<<2);
}
int main(){
for(read(T);T--;clr()){
read(n);read(m);
for(int i=1,u,v,x,y;i<=m;i++){
read(u);read(v);
read(x),read(y);
add(u,v,(real)y/(real)x);
add(v,u,(real)x/(real)y);
}
for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]){
if(dfs(i,1)){
flag=1;break;
}
}
printf("Case #%d: %s\n",++cas,flag?"No":"Yes");
}
return 0;
}
【官方做法】：加权并查集
首先可以看出这个齿轮的转动关系是具有传递性的，如果知道x和y的关系，也知道y和z的关系，就可以推出x和z的关系。具有这种关系的东西一般都可以用加权并查集来搞。对于每个元素给它维护一个dis[x]，表示的含义是如果x的代表元素转动1圈，x要转动几圈。每次读入一个限制如果x和y不在同一个集合里就进行合并。合并的时候先找到x的代表元素r1和y的代表元素r2，然后我们要把r2合并到r1上。要进行合并就要知道r1转一圈的时候r2转几圈。设从读入的信息可以知道x转一圈的时候y转w圈，那么如果r1转了一圈，y就转了dis[x]∗w圈；而当y转了dis[x]∗w圈的时候，r2转了dis[x]∗w/dis[y]圈。关系如下图：
如果读入的x和y在一个集合里，那么就可以用维护的信息算出x转了一圈的时候y转了几圈，和读入的信息进行比对就可以判定是否发生矛盾。
这个数据范围看起来好像很小的样子。。但是如果它出上n-1个信息，每次都是当齿轮i转动1圈的时候齿轮i+1转动100圈，那么最后就会发现当齿轮1转动一圈的时候齿轮n会转动100n圈。。这样的话就不能直接用int或者long
long或者什么类似的东西来维护加权并查集的dis了。。用分解质因数似乎是比较稳的方法，但是听说用long double还是什么类似的东西也能过？
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef double real;
inline void read(int &x){
register char ch=getchar();int f=1;x=0;
while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
x*=f;
}
const int N=1e5+5;
const real eps=1e-6;
int T,n,m,cas;bool flag;
int fa[N];real dis[N];
int find(int x){
int t;
if(fa[x]!=x) t=find(fa[x]),dis[x]*=dis[fa[x]],fa[x]=t;
return fa[x];
}
int main(){
for(read(T);T--;flag=0){
read(n);read(m);
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,dis[i]=1;
for(int i=1,r1,r2,u,v,x,y;i<=m;i++){
read(u);read(v);read(x);read(y);
r1=find(u);r2=find(v);
if(r1==r2){
if(fabs(dis[v]/dis[u]-(real)y/(real)x)>eps){
flag=1;break;
}
}
else{
fa[r2]=r1;
dis[r2]=(dis[u]*y)/(dis[v]*x);
}
}
printf("Case #%d: %s\n",++cas,flag?"No":"Yes");
}
return 0;
}