陈丽, 王桂花. Poisson点过程及其性质[J]. 新乡学院学报, 2012, 29(6):483-484. DOI:10.3969/j.issn.1674-3326.2012.06.002.
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1. 预备知识
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定义1:设(X,RX)是一个可测空间，如果Dp?(0,∞)是一个至多可数集，则称映射p:Dp→X为X上的点函数.
如果p是X上的点函数，则Np((0,t]×U)=Δ{s|s∈Dp,p(s)∈U}其中t∈(0,∞),U∈RX这就定义了
(0,∞)×X上的一个记数测度为Np(dtdx).
令Πx表示X上全体点函数的集合, 记R(ΠX)=σ({Np((0,t)×U):ΠX→Z+∪{∞}|t∈(0,∞),U∈RX}).
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定义2：取值于(ΠX,R(ΠX))的随机变量称为X 上的点过程.
设p是X上的点函数，且t?0，令Dθtp={s|s∈(0,∞),s+t∈Dp}，定义: θtp(s)=p(t+s)为q tp(s) = p(t +
s) . 其中s∈Dθtp. 设p是X上的点过程，如果对于任意的t?0，θtp与p同分布，则称p为平稳的.
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定义3：如果Np(dtdx)是(0,∞)×X上的Poisson随机测度，则称点过程p为Possion点过程.
显然，一个Poisson点过程p是平稳的，当且仅当它的强度Np(dtdx)具有以下形式： Np(dtdx)=dtn(dx)，
这里n(dx)是(X,RX)上的测度，称为p的特征测度.
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定义4：设{Yt}是实数值过程，如果对于任意的n∈N， t1<t2<?<tn，若有Yt2?Yt1,?,Ytn?Ytn?1相互独立，则称{Yt}为独立增量过程；如果对于任意的 s<t，Yt?Ys的分布只与t?s有关，则称独立增量过程{Yt}是平稳的. 右连续的平稳独立增量过程称为Levy过程.
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定义 5：对于{Ω,F}上的函数T:Ω→[0,∞)，如果对于每一个t?0，有{T?t}∈Ft，则称T为停时.
2.Possion点过程的性质
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定理 1：如果n(dx)是(X,RX)上的σ有限测度，则存在X上的平稳Poisson 点过程，使其特征测度为n(dx).
证明：对于概率空间(Ω,F,P)及定义在(Ω,F,P)上的随机测度Np(dtdx)是(0,∞)×X上的Poisson随机测度，且它的强度为dtn(dx). 取一列集合Un(n=1,2,?)，使得0<n(Un)<∞，且Un是单调递增的，∪∞n?1Un=X. 对于每一个n，容易看出，过程X(n)t=N((0,t]×U)是右连续的Poisson过程，其参数为n(Un)，因此，事件Λn={ω|?t∈(0,∞)→X(n)t?X(n)t??2}的概率为零.
令Λ=∪∞nΛn ，则P(Λ)=0，且Λ={ω|?t∈(0,∞),N({t}×X)≥2}. 取定一个X上的点函数p0:Dp0→X，令Dp0(ω)如下：当ω?Ω时，Dp0(ω)={s|?x∈X,N({(s,x)})>0}；当ω∈Ω时，Dp0=Dp. 令p(ω)(s)形式如下：若s∈Dp(ω)，N((s,x))>0，ω?Ω，则有p(w)(s)=x∈X；若s∈Dp0，ω∈Ω，则有p(w)(s)=p0(s)；显然， p是X上的点过程，且对于任意的t>0，U?RX，有Np((0,t)×U)=Δ{s|(s,p(s))∈(0,t)×U}={(s,x)|(s,x)∈(0,t)×U}=N((0,t)×U). 因此，p是X上的平稳Poisson点过程，且它的特征测度为n(dx).
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定理2：设{Y_t}是定义在某一个概率空间(Ω,Ψ,P)上的Levy过程，σt(t?0)是Ω上的推移算子，使得Yt°σt=Yt+s. 其中任意的t、s?0，则{Yt}是适应于滤子{Ψt}的强Markov过程，而Ψt=κ∨σ({Ys|s≥0})，κ={A|?B?R，A?B,P(B)=0}，t?0.
证明：由Kolmogorov0?1律可知，滤子{Yt}是右连续的，且满足通常条件，因此，{Yt}过程是适应于
滤子{Ψt}的强Markov过程. -
定理 3：对于任意的U∈RX，Np((0,t]×U)服从参数为t?n(U)的Poisson分布，则p是R上的Poisson点过程，其特征测度为n(?). 证明过程从略. [注1：(R,RR)上的测度n(?)称为Levy过程的Levy测度. 注 2：设n(dx)是(X,RX)上的σ有限测度，(Ω,Ψ,P)是完备的概率空间，p是定义在(Ω,Ψ,P)上平稳的点Poisson过程，其特征测度为n(dx)].
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定理4：若f(?)是(X上的ReX)一非负可测函数，∫Xf(x)n(dx)<∞，则Xt=∑s∈Dp,s?tf(p)=∫(0,t]∫Xf(x)N(dsdx)<∞，(t?0)是Levy过程，且对任意t?0有E{Xt}=t∫Xf(x)n(dx)，令κ={A|A∈F,P(A)=0}，对任意t?0，令Ft=κ∨σ({Np((0,s]×U)|s?t,U∈RX})，由Kolmogorov0?1律，滤子{Ft}右连续，满足通常条件.
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定理 5：如果f(?)是(X上的RX)一非负可测函数，{Zt}t?0是适应于{Ft}的非负可料过程，则有
E{∑s∈D,s?tZsf(p(s))}=E{∫t0Zsds∫Xf(x)n(dx)}
证明：因为Xt=∑s∈D,s?tf(p),t?0是右连续的独立增量过程，并且对于任意的t>s?0，由于E{Xt?t∫Xf(x)n(dx)|Fs}=E{Xt?Xs|Fs}?t∫Xf(x)n(dx)+Xs=E{Xt?s}?t∫Xf(x)n(dx)+Xs=(t?s)∫Xf(x)n(dx)?t∫Xf(x)n(dx)+X=Xs?s∫Xf(x)n(dx)，所以，{Xt?t∫Xf(x)n(dx)}是右连续的{Ft}.
对于任意的有界停时S、T，且S<T，则有E{XT?T∫Xf(x)n(dx)}=E{XS?S∫Xf(x)n(dx)}，即E{∑s∈D,s?tf(p)}=E{Xt?Xs}=E{∫(S,T]∫Xf(x)n(ds)}，这意味着E{∑s∈D,s?tZsf(p(s))}=E{∫t0Zsds∫Xf(x)n(dx)}，对于可料过程{Zt=I(S,T](t)}是成立的，即上式对于任意可料过程都成立.
参考文献：
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