大家知道，进入大厦必须首先跨入大厦的门厅，别无他途。空集?是数学大厦的看门人。任何进入数学大厦的人必须与空集“打招呼”。空集?里面没有任何元素，所以，空集?也可表示为{}(集合的数学符号)，里面什么元素也没有。
在现代数学中，数字0一般定义为空集?。虽然空集{}本身不是数字0。由此，数字1定义为{?}，数字2定义为{?，{?}}，......我们注意：集合的包含关系??{?}表示自然数的顺序关系0<
1，.......
康托尔认为，所有的自然数仍然构成一个集合N，对此，当时的大数学家维根斯坦坚决反对，认为集合N没有任何数学意义。但是，后来人接受了康托尔的思想，接受了N也是一个确定的集合，并且由此集合N完美地定义出有理数系Q。
康托尔考虑有理数序列{rn},n=1,2,3,......他认为，一个“柯西收敛”的有理数列{rn}对应到一个实数a，从此，建立起实数系R。如果把“柯西收敛”的序列利用所谓“超滤器”再加以细分下去，就得到所谓的“超实数”*R了。这种数系“细分”的观念是由袁萌本人在上世纪七十年代首先提出的。
有了两套实数系，但是我们只有一套微积分。在现代数学大厦里面，任何数学分支都离不开微积分（的成果）。微积分“文盲”就是现代数学文盲！
说明：什么是“柯西收敛”，什么是法国布尔巴基学派的“超滤器”（Filter），这都是技术细节问题，不妨碍“科普”理解。
袁萌 6月17日
时间： 2024-10-12 06:49:48