PCA 协方差矩阵特征向量的计算

人脸识别中矩阵的维数n>>样本个数m。

计算矩阵A的主成分，根据PCA的原理，就是计算A的协方差矩阵A‘A的特征值和特征向量，但是A‘A有可能比较大，所以根据A‘A的大小，可以计算AA‘或者A‘A的特征值，原矩阵和其转置矩阵的特征值是一样的，只是特征向量不一样。

假如我们的数据按行存放，A是m*n的矩阵，n>>m，m是样本个数，n是维数，则协方差矩阵应该是A‘A，A‘A是n*n维的一个矩阵，这个矩阵非常大，不利于求特征值和特征向量，所以先求AA‘的特征值，它是一个m*m维的矩阵。

由矩阵性质，AA‘的特征值就是A‘A的特征值。下面推导A‘A的特征向量和AA‘的特征向量的关系。

B = A‘A; C = AA‘;

C*y=c*y -> AA‘*y=c*y ；左乘A‘

A‘A*(A‘*y)=c*(A‘*y) -->  B * (A‘*y)=c*(A‘*y);

所以B的特征向量A‘*y，特征值与C相同为c。

PCA 协方差矩阵特征向量的计算