HDU 3944-DP?(Lucas定理+预处理)

题目地址：HDU 3944

题意：告诉你在一个在杨辉三角中的点(第n行m列)，问你从(0,0)点走到该点经过的点最少的权值和(只能向下走或斜着走)。同时对素数p取余

思路：根据已知的那个点（n,m）,如果 n/2 >= m ,那么从已知点出发，可以一直往斜的方向走，直到边界，那么 权值和就为 C（n,m）+C(n-1,m-1)……. 然后由组合数的公式两两合并可以得到 C（n+1,m）+（n-m);如果n/2< m，那么就是一直往上走，权值和就为C（n,m)+C(n-1,m)+C(n-2,m)….. 等于C(n+1,m+1)+m。因为同样根据组合数的性质当m<=n/2，m=n-m。所以只剩下第二种情况。

同样用Lucas定理化简，但是样例有1e5组，非常大，开始的时候用传统方法TLE了一发。在这里要预处理一下，将每个数阶乘同10000以内的每个素数的取余都保存下来，到时候直接用。当一个数>=某个素数的时候，对这个素数取余肯定等于0，这相当于一个优化。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <bitset>
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
using namespace std;
typedef __int64 LL;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double pi= acos(-1.0);
const double esp=1e-6;
using namespace std;
const int Maxn=1e4+10;
bitset<Maxn>pri;
int prime[Maxn];
int flag[Maxn];
int fac[Maxn][Maxn];
int inv[Maxn][Maxn];
int k=0;
int n,m,p;
void is_prime()
{
    pri.set();
    memset(flag,0,sizeof(flag));
    for(int i=2; i<Maxn; i++) {
        if(pri[i]) {
            prime[++k]=i;
            flag[i]=k;
            for(LL j=i+i; j<Maxn; j+=i)
                pri[j]=0;
        }
    }
}
int modxp(int a,int b,int mod)
{
    int res=1;
    while(b>0) {
        if(b&1)
            res=res*a%mod;
        b=b>>1;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
void Init()
{
    for(int i=1; i<=k; i++) {
        fac[i][0]=1;
        inv[i][0]=1;
        for(int j=1; j<prime[i]; j++) {
            fac[i][j]=(fac[i][j-1]*j)%prime[i];
            inv[i][j]=modxp(fac[i][j],prime[i]-2,prime[i]);
        }
    }

}
int C(int n,int m)
{
    if(m>n) return 0;
    if(m==n) return 1;
    int t=flag[p];
    return fac[t][n]*(inv[t][n-m]*inv[t][m]%p)%p;
}

int Lucas(int n,int m)
{
    if(m==0)  return 1;
    return C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p)%p;
}

int main()
{
    int icase=1;
    is_prime();
    Init();
    while(~scanf("%d %d %d",&n,&m,&p)) {
        if(m<=n/2) m=n-m;
        printf("Case #%d: %d\n",icase++,((m+Lucas(n+1,m+1)%p)+p)%p);
    }
    return 0;
}

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