poj 3128 Leonardo's Notebook (置换群的整幂运算)

题意:给你一个置换P,问是否存在一个置换M,使M^2=P

思路:资料参考 《置换群快速幂运算研究与探讨》 https://wenku.baidu.com/view/0bff6b1c6bd97f192279e9fb.html

结论一: 一个长度为 l 的循环 T,l 是 k 的倍数,则 T^k 是 k 个循环的乘积,每个循环分别是循环 T 中下标 i mod k=0,1,2… 的元素按顺序的连接。

结论二:一个长度为 l 的循环 T,gcd(l,k)=1,则 T^k 是一个循环,与循环 T 不一定相同。

结论三:一个长度为 l 的循环 T,T^k 是 gcd(l,k)个循环的乘积,每个循环分别是循环 T 中下标 i mod gcd(l,k)=0,1,2… 的元素的连接

考虑某个置换的平方。对于其中长度为奇数的轮换,平方以后这个轮换仍然为一个轮换只是元素顺序换了。一个长度为偶数的轮换,平方以后就变为两个大小相等的轮换了。因此,对于给定的置换,当中所有长度为奇数的轮换,可以直接当做是它原先平方产生的。而长度为偶数的轮换,必须一一配对,当做原先拆出来的。满足这个条件,就是平方。

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int t;
    int num[26];
    bool visit[26];
    string str;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
       cin>>str;
       for(int i=0;i<str.length();i++)
       {
          num[i]=str[i]-‘A‘;
       }
       int cnt[27];
       memset(visit,false,sizeof(visit));
       memset(cnt,0,sizeof(cnt));
       for(int i=0;i<26;i++)
       {
           if(!visit[i])
           {
              visit[i]=true;
              int tmp=num[i];
              int len = 1;
              while(tmp!=i)
              {
                 visit[tmp]=true;
                 tmp=num[tmp];
                 len++;
              }
              cnt[len]++;
           }
       }
       int flag=1;
       for(int i=2;i<=26;i+=2)
       {
           if(cnt[i]%2)
           {
               flag=0;
               break;
           }
       }
       if(flag) cout<<"Yes"<<endl;
       else cout<<"No"<<endl;
    }
    return 0;
}

poj 3128 Leonardo's Notebook (置换群的整幂运算)

时间: 2024-10-20 19:02:52

poj 3128 Leonardo's Notebook (置换群的整幂运算)的相关文章

POJ 3128 Leonardo&#39;s Notebook [置换群]

传送门 题意:26个大写字母的置换$B$,是否存在置换$A$满足$A^2=B$ $A^2$,就是在循环中一下子走两步 容易发现,长度$n$为奇数的循环走两步还是$n$次回到原点 $n$为偶数的话是$\frac{n}{2}$次,也就是说分裂成了两个循环 综上$B$中长度为偶数的循环有奇数个就是不存在啦 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #inclu

poj 3128 Leonardo&#39;s Notebook(置换的幂)

http://poj.org/problem?id=3128 大致题意:输入一串含26个大写字母的字符串,可以把它看做一个置换,判断这个置换是否是某个置换的平方. 思路:详解可参考置换群快速幂运算 研究与探讨. 可以先正着考虑一个置换的平方出现什么情况.对于置换中的循环,若其长度为偶数,平方以后一定分成了两个长度相等的循环,若长度是奇数,平方以后仍是一个循环,长度不变.因此,考虑当前置换,若某个循环的长度为偶数,那么它一定是原始置换平方得来的,而且等长度的循环一定有偶数个.对于长度为奇数的循环,

POJ 3128 Leonardo&#39;s Notebook (置换)

Leonardo's Notebook Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 2324   Accepted: 988 Description - I just bought Leonardo's secret notebook! Rare object collector Stan Ucker was really agitated but his friend, special investigator Sa

hrbust oj 1536 Leonardo&#39;s Notebook 置换群问题

题目大意: 给出一个A~Z的置换G,问能否找到一个A~Z的置换G' 能够用来表示为 G = G'*G' 由定理: 任意一个长为 L 的置换的k次幂,都会把自己的每一个循环节分裂成gcd(L, K)份,并且每一份的长度都为L/gcd(L,K) 这里是置换的平方,所以G'长度为偶数的循环节必然会分裂为两个相等的循环节,长度为奇数的循环节还是一个循环节长度不变 那么得到的G中长度为偶数的循环节必然是由G'中偶数的循环节分裂得到,奇数的循环节可以不多做考虑,就认为它是原来的奇数循环节保持不变所得 所以这

【POJ 3128】Leonardo&#39;s Notebook

这道题的问题就是说能否对一个给定的置换进行开方运算 关于这个问题讲的最为详细的是05年集训队论文 潘震皓:<置换群快速幂运算研究与探讨> 对于一个长度为l的轮换,若gcd(l,k)==1,则可以开k方 若gcd(l,k)!=1则对于单个循环是不能开k方的 而若有m个长度为l的轮换,只需要保证gcd(m*l,k)==m就可以 因为开k方是k次方的逆运算,只要保证目标轮换的k次方会分裂成m个数就好了 而若能保证gcd(m*l,k)==m,则m|k,且gcd(l,k/m)==1,即m为k的因子 则最

【LA 3641】 Leonardo&#39;s Notebook (置换群)

[题意] 给出26个大写字母组成 字符串B问是否存在一个置换A使得A^2 = B [分析] 置换前面已经说了,做了这题之后有了更深的了解. 再说说置换群.   首先是群. 置换群的元素是置换,运算时是置换的连接. 前面已经说了,每个置换都可以写成互不相交的循环的乘积. 然后分析一下这题. 假设A置换是(a1,a2,a3)(b1,b2,b3,b4)   [这里用循环表示 那么A*A=(a1,a2,a3)(b1,b2,b3,b4)(a1,a2,a3)(b1,b2,b3,b4) 不相交的循环满足交换律

UVA 12103 - Leonardo&#39;s Notebook(数论置换群)

UVA 12103 - Leonardo's Notebook 题目链接 题意:给定一个字母置换B,求是否存在A使得A^2=B 思路:任意一个长为 L 的置换的k次幂,会把自己分裂成gcd(L,k) 分, 并且每一份的长度都为 L / gcd(l,k),因此平方对于奇数长度不变,偶数则会分裂成两份长度相同的循环,因此如果B中偶数长度的循环个数不为偶数必然不存在A了 代码: #include <stdio.h> #include <string.h> const int N = 30

poj 3128 关于置换群的规律

Leonardo's Notebook Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 2433   Accepted: 1037 Description - I just bought Leonardo's secret notebook! Rare object collector Stan Ucker was really agitated but his friend, special investigator S

UVALA 3641 Leonardo&#39;s Notebook

Polya定理应用: 题意:给出一个置换B,问有没有一个置换A,使得A^2=B. 思路:对于置换的循环节,比如(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3,b4),那么对于奇数长度的循环节,发现进行两次乘法以后还是奇数长度,偶数长度的循环节分解为两个长度相同的循环节.那么就可以对B中的循环节进行判断,奇数长度的不同管,这个总能找到满足要求的,偶数循环节的数量也要是偶数,这样才能两两配对. 3641 Leonardo's Notebook - I just bought Leonardo's secr