[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.3

3. 证明数值半径 $w(\cdot)$ 是 $M_n$ 上的一个范数.

证明: (1). $$\beex \bea w(A)&\geq 0;\\ w(A)=0&\ra x^*Ax=0,\quad \forall\ x\\ &\ra x^*Ay=\frac{1}{4} \sum_{k=0}^3 i^k(x+i^ky)^*A(x+i^ky)=0,\quad \forall\ x,y\\ &\ra Ay=0,\quad \forall\ y\\ &\ra A=0. \eea \eeex$$ (2). $$\beex \bea &\quad |x^*(\al A)x|=|\al|\cdot |x^*Ax|,\quad \forall\ x:\ ||x||_2=1\\ &\ra w(\al A)=|\al|\cdot w(A). \eea \eeex$$ (3) $$\beex \bea &\quad |x^*(A+B)x| =|x^*Ax+x^*Bx|\leq |x^*Ax|+|x^*Bx|,\quad \forall\ x: ||x||_2=1\\ &\ra w(A+B)\leq w(A)+w(B). \eea \eeex$$

时间： 2024-10-08 11:59:14

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15. 设 $S_n[a,b]$ 表示所有元素属于给定的区间 $[a,b]$ 的 $n$ 阶实对称矩阵的集合. 对于 $j=1,n$ 确定 $$\bex \max\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}\mbox{ 和 } \min\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}, \eex$$ 以及分别取到最大值和最小值的矩阵. 解答: 对 $0\neq x\in\bbR^n$, $$\beex \bea &\quad x^TAx\\ &=x^TP^T (

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8. 设 $k\leq m\leq n$. 怎样的矩阵 $A\in M_{m,n}$ 的每条对角线恰好含有 $k$ 个零元素? 解答: 由定理 2.5 (K\"onig), $A$ 的每条对角线都含有 $k$ 个零元素 $\lra$ $A$ 有一个 $r\times s$ 的零子矩阵, $r+s=n+k$; $A$ 有一条对角线含有 $k+1$ 个零元素 $\lra$ $A$ 的任一 $r\times s$ 阶子矩阵非零, $r+s=n+k+1$. 于是 $A$ 的每条对角线恰含有 $k$ 个零

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