BZOJ 2226: [Spoj 5971] LCMSum

Description

求\(\sum_{i=1}^n[i,n],n\leqslant 10^6,T\leqslant 3\times 10^5\)

Solution

数论..

\(\sum_{i=1}^n[i,n]\)

\(=n\sum_{i=1}^n\frac{i}{(i,n)}\)

\(=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[(i,\frac{n}{d})=1]i\)

后面这个其实可以直接算出来

\(\sum_{i=1}^n[(i,n)=1]i=\sum_{i=1}^ni\sum_{d|i}[d|n]\mu(d)=\sum_{d|n}\mu(d)d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i\)

把后面那个式子求和，然后再xjb化一下，就会发现\(n=1\)时为\(1\)，其他时候为\(\frac{n\varphi(n)}{2}\)..

然后用欧拉筛统计一下...

复杂度\(O(nloglogn)\)

Code

/**************************************************************
    Problem: 2226
    User: BeiYu
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:7452 ms
    Memory:28632 kb
****************************************************************/

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1000050;

int pr[N],cp;
int phi[N],b[N];
LL f[N],h[N];

void pre(int n) {
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!b[i]) pr[++cp]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cp && (LL)i*pr[j]<=n;j++) {
            b[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]) phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
            else { phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];break; }
        }
    }
    f[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=1LL*i*phi[i]/2;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j+=i) h[j]+=f[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) h[i]*=i;
//  for(int i=1;i<=n;i++) cout<<phi[i]<<" ";cout<<endl;
//  for(int i=1;i<=n;i++) cout<<f[i]<<" ";cout<<endl;
//  for(int i=1;i<=n;i++) cout<<h[i]<<" ";cout<<endl;
}
int T,n;

int main() {
    for(pre(1000000),scanf("%d",&T);T--;)
        scanf("%d",&n),printf("%lld\n",h[n]);
    return 0;
}