树状数组的基本用法

树状数组的基本用法和奇技淫巧

树状数组是一种修改查找复杂度都是logN的实用的数据结构，大家应该都会，下面放一张熟的不能再熟的图装装样子

树状数组最基本的操作：单点修改，前缀查询。原理都懂就不赘述了，贴个代码。

void add(int pos,int x)
{
    for(;pos<=N;pos+=lowbit(pos))
        c[pos]+=x;
}
int query(int pos)
{
    int sum=0;
    for(;pos;pos-=lowbit(pos))
        sum+=c[pos];
    return sum;
}    

有一种进阶操作，区间修改，单点查询 。

这就要用到差分——让一个位置的前缀和等于它的值。所以查单点就就是查前缀和。

那如何修改区间呢， 举个例子   比如我们让 区间4 5 7加上3

原数组      　　 1 4 5 7 10   ->  1 7 8 10 10

差分数组   　　1 3 1 2 3     ->  1  6 1  2  0

显而易见，整个区间加上一个数， 区间内部元素的差是不变的。

在差分数组中，只有这个区间两头的数字改变了 (挺好理解的吧)

于是 ，  就可以通过单点修改区间的两端来进行区间修改了。

代码的话 基本操作和上面是一样的，只是意义不同了 ， 唯一不一样的是读入的时候存的是差分数组

for(int i=1;i<=N;i++)
{
    cin>>a[i];
    add(i,a[i]-a[i-1]);
}

现在你们可能有一个大胆的想法 ： 怎么实现区间修改区间查询

下面就是奇技淫巧时间。 (标题已上线)

还是要用差分数组， 下面我们简单推个式子。

所以我们就可以开两个数状数组， 一个里面放c[i]，一个里面放 i×c[i]，就能实现区间查询了

除了每次修改改的是两个数组， 其他操作都一样

下面是代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ull unsigned long long
#define lowbit(a) (a&-a)
#define MAXN 200005
using namespace std;
int N,M,a[MAXN];
ull c1[MAXN],c2[MAXN];
void add(int pos,ull x)
{
    for(int i=pos;i<=N;i+=lowbit(i))
        c1[i]+=x,c2[i]+=x*pos;
}
ull sum(int pos)                    //[1,pos]区间和
{
    ull s=0;
    for(int i=pos;i;i-=lowbit(i))
        s+=c1[i]*(pos+1)-c2[i];
    return s;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>N;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        cin>>a[i];
        add(i,a[i]-a[i-1]);
    }
    cin>>M;
    while(M--)
    {
        int P,X,Y;
        ull Z;
        cin>>P;
        if(P==1)
        {
            cin>>X>>Y>>Z;
            add(Y+1,-Z);
            add(X,Z);
        }
        else if(P==2)
        {
            cin>>X>>Y;
            cout<<sum(Y)-sum(X-1)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

可以到 http://codevs.cn/problem/1082/ 交一下练练手

好了就说这么多了。

其实， 我想去学线段树了。。。