用算法求N(N>=3)之内素数的个数

首先，我们谈一下素数的定义，什么是素数？除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数

称之为素数（质数）；否则称为合数。

根据素数的定义，在解决这个问题上，一开始我想到的方法是从3到N之间每个奇数进行遍历，然后再按照素数的定义去逐个除以3到

根号N之间的奇数，就可以计算素数的个数了。

于是便编写了下面的代码：

（代码是用C++编写的）

#include<iostream>
#include <time.h>
using namespace std;

#define N 1000000

int compuPrimeN(int);

int main(char argc, char* argv[])
{
	int iTimeS = clock();
	int iNum = compuPrimeN(N);
	int iTimeE = clock();

	cout << iNum << endl;
	cout << "算法时间:" <<iTimeE - iTimeS<<"毫秒"<< endl;
	getchar();
	return 0;
}

int compuPrimeN(int maxNum)
{
	//算法1
	int iNum = 1;  //起始记上2
	bool bPrime = true;
	for (int i = 3; i <= maxNum; i += 2)
	{
		bPrime = true;
	for (int j = 3; j <= (int)sqrt(i); j += 2)
	{
		if (i%j == 0)
		{
			bPrime = false;
			break;
		}
	}
	if (bPrime)
		iNum++;
	}

	return iNum;
}

运行后如图所示：

由此可见，算法的性能不是很好，在时间上还有很大可以优化的空间。

那么，该如何优化？

首先，我是想，既然去掉了2的倍数，那么能不能去掉3的倍数，但后来

发现，在第二个循环里第一个取余的就是3，那么3的倍数其实只计算了一次

就过滤，所有没有必要再往下思考。

后来我想到，在第二个循环里，3取余过了，如果没跳出循环，那么6，9之类的

应该不用继续取余，同理，5取余过了，那么10，15...就不该继续取余，因为取余

5不为0，那么取余10，15肯定也不为0.换言之，那么不该取余的其实是合数！！

why？因为如果是合数，那么比他根号本身小的数里肯定有它能取余的，也就是

之前我们想过滤掉不想取余的数，这样一来，其实我们只要在第二循环里取余

比其根号本身要小的质数就能判断出来了！而那些质数我们在求该数之前就已经

找出来了，那么我们只要将其记录下来就行了！！

于是乎，遵循乎该思路，我将compuPrimeN()函数重写，写出了第2个算法：

int compuPrimeN(int maxNum)
{
	//算法2
	int iNum = 1;  //记录素数总个数
	int iRecN = 1; //记录在数组内素数的个数
	bool bPrimeN = true;
	int sqrtMaxN = (int)sqrt(maxNum);
	//我们要记录小于sqrtMaxN内的素数，为使空间分配最优，大小为x/ln(x)*1.2,
	//因为科学家发现一个求素数大致范围的近似公式x/ln(x),
	//为了不数组越界,多加20%范围
	//注意maxNum为3时为特例，因为此处ln(根号3)为0
	int* iPrime = new int[maxNum == 3 ? 1 : (int)((float)sqrtMaxN / log(sqrtMaxN)*1.2)];

	for (int i = 3; i <= maxNum; i += 2)
	{
		bPrimeN = true;
		//只要取余范围内的素数就好了
		for (int j = 1; j < iRecN; j++)
		{
			if (i%iPrime[j] == 0)
			{
				bPrimeN = false;
				break;
			}
		}
		if (bPrimeN)
		{
			if (i <= sqrtMaxN)
			{
				iPrime[iRecN] = i;
				iRecN++;
				iNum = iRecN;
			}
			else
				iNum++;
		}
	}
	delete iPrime;
	return iNum;
}

运行后如图所示：

看，优化后算法的时间性能比原来好了19倍左右，

那能不能更快呢？

我想理论上是可以的，因为前面的算法都用到了一种思想，

事先过滤掉了2，3的倍数，如果我们能把5，7，11的倍数都

事先过滤掉那不是更快吗？

这里为什么没有9，因为9的倍数即是3的倍数啊，咦？好像

发现了什么，和算法2的思想有点类似，如果我们能事先过滤掉

质数倍数，那么不是能过滤掉很多合数了吗，而对于该质数+1，

无非是两种情况，其一是它是被过滤掉的合数，其二是它是质数，

否则它应该在之前过滤掉的啊！！而我们只要在过滤的过程中，

把遇到的不能过滤的统计起来，不就是我们所求的质数吗？

这样一来，时间性能不是能更进一步优化了吗？对，但是要事先

过滤掉这么多的合数，并将其行为记录下来，就要消耗极大的

空间了，这就是典型的空间换时间！！

于是，我写的算法3便诞生了，如下：

int compuPrimeN(int maxNum)
{
	//算法3
	//用bool型大数组来记录,true为素数，false为偶数
	//因为求素数个数，所以前两个可以忽略.
	bool* bArray = new bool[maxNum + 1];
	for (int i = 2; i <= maxNum; i++)
		bArray[i] = true;

	int iNum = 0;
	for (int i = 2; i <= maxNum; i++)
	{
		//替换筛子后面的合数为false
		if (bArray[i])
		{
			iNum++;
			for (int j = i + i; j <= maxNum; j += i)
			{
				bArray[j] = false;
			}
		}
	}
	delete bArray;
	return iNum;
}

运行后如图：

哇！没想到算法的时间竟然能够优化如此快速！！但是，好像耗费的空间

存储有点多，仅用bool型的数组记录似乎有点浪费,能不能在每个bit上用0或1

来代替记录呢？

于是，我又写了下面的算法：

int compuPrimeN(int maxNum)
{
	//算法4
	//用每个位0或1来分别表示合数和素数
	//好处是内存空间利用最大化
	int size = maxNum % 8 == 0 ? maxNum / 8 : maxNum / 8 + 1;
	unsigned char* array = new unsigned char[size];
	for (int i = 0; i < size; i++)
		array[i] = 127;

	int iNum = 0, iBit = 0, index = 0;
	for (int i = 2; i <= maxNum; i++)
	{
		index = i / 8;
		(iBit = i % 8) == 0 ? iBit = 7, index-- : iBit--;

		if (array[index] & (1 << iBit))
		{
			iNum++;
			for (int j = i + i; j <= maxNum; j += i)
			{
				index = j / 8;
				(iBit = j % 8) == 0 ? iBit = 7, index-- : iBit--;
				array[index] = array[index] & (~(1 << iBit));
			}
		}
	}
	delete array;
	return iNum;
}

运行结果如图：

虽然由于二进制的计算使其在时间性能上比算法3要慢上那么一点，

但是换做bit来记录素数或合数，却是让空间存储变为了原来的1/8,

其好处是不言而喻的，如果没有内存空间问题，那么用算法3也是

无可厚非的，如果对内存空间要求比较严格，那么算法2才是最佳

首选。

总结：

在思考和编码中，我深深的体会到了，算法优化的重要性，而要想成为

一个优秀的程序员，那么就必须明白，算法是程序的灵魂！！