关于SICP 1.2.2节中的换零钱方式的统计研究及其迭代实现

　　最近开始看sicp（计算机程序的构造和解释）一书，此书竟然是mit的计算机入门教材，不得不令人感叹天朝大学教育与真正一流大学的差距之大。。我们在学习c语言的时候，人家已经开始学习剥离具体语言之外的编程思想了。。扯远了，说回正题

　　sicp在1.2.2节中提到了一个有意思的换零钱实例：

　　将1美元（100美分）换成半美元，1/4美元，10美分，5美分，1美分的零钱，一共有多少种换法？

　　初看感觉有点无从下手，脑子里想的是各种排列组合，一片混乱。。

　　看了下面的指引之后，思路清晰了，不必拘泥与到底怎么排列，只要找到他们之间的递归关系即可。

　　很容易理解：

　　1美元换成五种零钱＝（包含半美元的所有换法）＋（不包含半美元的换法）

　　包含半美元的换法要求保证至少有一张半美元，余下的（1美元－半美元）继续用五种面值兑换。

　　不包含半美元的换法也就是对1美元进行剩余四种面值兑换。

　　根据上面的思路进行数学表达式的推理：

　　设f(a,n)为对数量为a的钱进行n种面值的兑换法的总数，则有：

　　f(a,n)=f(a-value(n),n) + f(a,n-1)

　　递归式就出来了！

　　递归必须要有停止条件，在这里的递归停止条件是：

　　a=0 return 1 （a＝0说明分配完了，得到一种分配方法）

　　a<0 or n=0 return 0 （a<0或者n=0说明未分配成功）

　　下面就是简单的翻译成代码了，sicp是用的scheme教学，但是我对scheme的使用还不太熟练，这里用js代替：

/**
 * Created by sky0014 on 14-8-11.
 */

var V = [1, 5, 10, 25, 50];
function f(a, n) {
    if (a == 0)
        return 1;
    if (a < 0 || n == 0)
        return 0;

    return f(a, n - 1) + f(a - V[n - 1], n);
}

console.time("ticker");
console.log(f(1000, 5));
console.timeEnd("ticker");

　　非常简洁明了，没有复杂的排列组合逻辑，可以看出递归真的是一个非常轻松明了解决问题的方法。不过问题又来了，这种线性递归是很慢的，而且如果值很大的话，容易造成堆栈溢出，有利必有所失，在我的电脑上，算10美元就用了2秒，算20美元，等了好久也没出来－。－究其原因就是堆栈层级太深以及重复计算，所以平时写程序对于是否使用线性递归也要谨慎。

　　为了解决这个问题，我们就需要将这个线性递归改为线性迭代（即尾递归），具体概念看sicp有讲，原书中将这作为了一个挑战给读者。

　　迭代对于递归来说，速度更快，缺点就是难写－ －，没递归那么简洁明了，不过为了效率，咱还是研究试试。

　　基本思路还是一致的，为了避免递归里面大量的重复计算，我们可以采用一个二维数组把结果保存起来直接使用，然后从1开始，依次根据刚才找出的递归规律进行计算并保存：

/**
 * Created by sky0014 on 14-8-10.
 *
 *
 规则：
 f(0,x)=1
 f(x,0)=0
 f(-,x)=0

 推导：
 f(a,n)=f(a,n-1) + f(a-v[n],n)
 */

function f(a, n) {
    var V = [1, 5, 10, 25, 50];
    var L = [];

    for (var i = 1; i <= a; i++)
        for (var j = 1; j <= n; j++) {
            L[i] = [0, 0, 0, 0, 0];
        }

    function get(i, j) {
        if (i == 0)
            return 1;
        if (j == 0)
            return 0;
        if (i < 0)
            return 0;

        return L[i][j];
    }

    for (var i = 1; i <= a; i++)
        for (var j = 1; j <= n; j++) {
            L[i][j] = get(i, j - 1) + get(i - V[j - 1], j);
        }

    return L[a][n];
}

console.time("ticker");
console.log(f(10000, 5));
console.timeEnd("ticker");

经过这样的改造之后，效率得到了极大的提升，实测计算100美元也只是10ms＋，相比递归计算10美元也要2秒，20美元就算不出来的情况简直不可同日而语）递归尼玛你也太慢了把－0 -

根据此代码也可以很简单的扩展为对任意数量的钱进行任意数量面值货币的兑换。

本文思路得益于书本和网络，个人只是进行了一些小改造和总结。

本文到此结束，欢迎有兴趣的同人一起来探讨。

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关于SICP 1.2.2节中的换零钱方式的统计研究及其迭代实现。