一维向量中连续子向量的最大和

Q：一个一维向量：arr[n] = {i1,i2,i3,......,in} ，计算其连续子向量中最大和。（即截取连续的一段使得段中各元素和最大，元素有负值；子向量可以为空，即和最小为0）

A：

最初的想法是穷举，双层循环将所有连续的元素和算出来

for [i,n){
    for[j,n){
        caculate sum(arr[j],arr[j]);
    }
}

这种方式虽然有效，但显得很蠢。

这里假设截取的区间是 arr[start, end] ，那么arr[start, end+1]的连续子向量的最大和能不能由arr[start, end]确定？

如果 arr[start, end] 符合条件的子向量(假设其最大和为maxsofar)含最后一个元素，那么arr[start, end+1]只需要看（end+1）这个位置，

如果 arr[start ,end] 符合条件的子向量不含最后一个元素，

那么arr[start, end+1]中符合条件的子向量要么是arr[start ,end]中的那个，要么是包含（end+1）这个元素的新的子向量（其最大和即arr[start,end]中含最后一个元素的最大和maxending+arr[end+1]）；

所以对arr[n]有如下代码：

#define N 20
#define MAX(a,b)  (a)>(b)?(a):(b)
static int maxsofar=0;    //表示arr[start, end]中连续子向量的最大和
static int maxending=0;   //表示arr[start, end]中含（end）元素的最大和
/*static int start = -1;*/ //start的位置暂时没找到好的确定方法
static int end = -1;
void findmax(){
    int i=0;
    for( ; i<N; ++i){
        maxending = MAX( maxending+arr[i], 0);   //如果arr[start,end]中的maxending加上arr[end+1]小于0，则说明arr[start,end+1]中maxending为0；
        maxsofar = MAX(maxending,maxsofar);      //arr[start,end+1]中的maxsofar为arr[start,end]中maxsofar 和 arr[start,end+1]中maxending的最大值；
        if(maxsofar==maxending)
            end = i;
    }
}
/*当arr[N] = {-39,45,26,-18,-92,17,-4,68,72,-2,99,4,-67,142,55,-59,19,-41,-72,13}；时，输出为 maxsofar=384,end=14;*/

上述实现为线性级，效率比穷举的 n² 级要高很多。