HDU - 233 Matrix

原题地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5015

解题思路：一看到题目，感觉是杨辉三角形，然后用组合数学做，不过没想出来怎么做，后来看数据+递推思想，感觉可能是矩阵快速幂，可惜一直不知道a*10+3的 +3怎么处理，果然还是图样图森破啊！如果矩阵能搞出来的话，后面的就简单了，真可惜一直到比赛结束也没想出来，看来这种矩阵的题目做的太少了，真后悔线性代数没有认真学。。

今天晚上又想了一会，完全可以把+3那个放到新的一阶矩阵上，值始终等于3，那么对于233->2333->23333就可以得到矩阵：

1 0

1 10

把这个矩阵和（3,233）相乘就可以得到（3,2333），再乘就得到（3,23333）依次类推。

对于题目中的n，可以构造一个(n+2)*(n+2)的矩阵，可以推出递推矩阵：

1 0 0 0 0.....

1 10 0 0 0...

1 10 1 0 0...

1 10 1 1 0 ...

1 10 1 1 1 ...

前i行的后(i-1)个元素都是0，从第2行开始的每一行的第二个元素都是10，其他都是1。

然后把这个矩阵求p次幂，（用矩阵快速幂）再求出初始向量，最后把向量和刚刚的矩阵快速幂结果相乘，取出结果的最后一个数就是答案啦！

  1 #include<stdio.h>
  2 #include<math.h>
  3 #include<string.h>
  4 #include<iostream>
  5 #include<algorithm>
  6 #define FOR(i,n) for(i=0;i<(n);i++)
  7 #define CLR(a) memset(a,0,sizeof(a))
  8 #define CIN(a) scanf("%d",&a)
  9 using namespace std;
 10 #define N 15
 11 #define M 15
 12 #define K 6
 13 using namespace std;
 14 typedef long long ll;
 15 struct matrix
 16 {
 17     ll m[N][M];
 18     int row,col;
 19 };
 20 matrix A,B,C,ANS;
 21 matrix& matrix_mul(matrix &a,matrix &b,ll p,matrix &ans)//a，b矩阵相乘每个数模p
 22 {
 23     for(int i=0;i<a.row;i++)
 24             for(int j=0;j<b.col;j++)
 25                 ans.m[i][j]=0;
 26     ans.row=a.row;
 27     ans.col=b.col;
 28     /*for(int i=0;i<a.row;i++)
 29         for(int j=0;j<a.col;j++)
 30             if(j<a.col-1)
 31                 printf("%d ",a.m[i][j]);
 32             else printf("%d\n",a.m[i][j]);
 33     cout<<endl;*/
 34     for(int i=0;i<a.row;i++)
 35         for(int k=0;k<a.col;k++)
 36         {
 37             for(int j=0;j<b.col;j++)
 38                 ans.m[i][j]=(ans.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%p;
 39         }
 40     return ans;
 41 }
 42 void print(matrix& a)
 43 {
 44     printf("->%d %d\n",a.row,a.col);
 45     for(int i=0;i<a.row;i++)
 46         for(int j=0;j<a.col;j++)
 47             if(j<a.col-1)
 48                 printf("%d ",a.m[i][j]);
 49             else printf("%d\n",a.m[i][j]);
 50     cout<<endl;
 51 }
 52 matrix z;
 53 matrix &fast_matrixt_mul_mod(matrix &a,int b,ll p,matrix &ans)//矩阵a的b次方模p
 54 {
 55     for(int i=0;i<N;i++)
 56         for(int j=0;j<M;j++)
 57         if(i==j)ans.m[i][j]=1;
 58         else ans.m[i][j]=0;
 59     ans.row=a.row;
 60     ans.col=a.col;
 61         //cout<<"=="<<endl;
 62     while(b)
 63     {
 64         if(b&1)
 65         {
 66             b--;
 67             ans=matrix_mul(ans,a,p,z);//ans=ans*a%m;
 68         }
 69         else
 70         {
 71             b/=2;
 72             a=matrix_mul(a,a,p,z);//a=a*a%m;
 73         }
 74         /*for(int i=0;i<ans.row;i++)
 75             for(int j=0;j<ans.col;j++)
 76                 if(j<ans.col-1)
 77                     printf("%d ",ans.m[i][j]);
 78                 else printf("%d\n",ans.m[i][j]);
 79         cout<<endl;*/
 80     }
 81     return ans;
 82 }
 83 matrix Mat,vec,ans;
 84 #define mod 10000007
 85 int main()
 86 {
 87     int n,p,i,j;
 88     while(scanf("%d%d",&n,&p)!=EOF)
 89     {
 90         vec.row=n+2;
 91         vec.col=1;
 92         vec.m[0][0]=3;
 93         vec.m[1][0]=23;
 94         for(i=2;i<=n+1;i++)
 95         {
 96             scanf("%I64d",&vec.m[i][0]);
 97         }
 98         Mat.col=Mat.row=n+2;
 99         CLR(Mat.m);
100         for(i=0;i<=n+1;i++)
101         {
102             for(j=0;j<=i;j++)
103             {
104                 if(j!=1)Mat.m[i][j]=1;
105                 else Mat.m[i][j]=10;
106             }
107         }
108         //print(Mat);
109         fast_matrixt_mul_mod(Mat,p,mod,ans);
110         matrix_mul(ans,vec,mod,Mat);
111         //print(Mat);
112         printf("%I64d\n",Mat.m[n+1][0]);
113     }
114     return 0;
115 }