51NOD 1639 绑鞋带(组合数学 + 递推)

传送门

有n根鞋带混在一起，现在重复n次以下操作：随机抽出两个鞋带头，把它们绑在一起。可以想象，这n次之后將不再有单独的鞋带头，n条鞋带系成了一些环。那么有多大概率刚好所有这些鞋带只形成了一个环？

Input

仅一行，包含一个整数n (2<=n<=1000)。

Output

输出一行，为刚好成环的概率。

Input示例

2

Output示例

0.666667

解题思路：

考虑n根鞋带时第一个操作，只要不选到同一根鞋带，就等价变成n-1根时的情形。这样我们就可以递推了，现在假设已经有 i-1 根鞋带组成一个环了，概率认为是ans[i-1]，那么现在的第 i 根鞋带就要插到这前面的i-1根鞋带中，方法数应该是2*(i-1)（2是因为鞋带的两头都可以插入），总数就是2*(i-1)+1(加上自己这跟鞋带)。所以递推公式：

ans[i]=ans[i?1]?2?(i?1)2?(i?1)+1

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        double ans = 1.0;
        for(int i=2; i<=n; i++)
            ans = ans*(i-1)*2.0/(2.0*i-1);
        printf("%.8lf\n",ans);
    }
    return 0;
}