1319: Sgu261Discrete Roots
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给出三个整数p,k,a,其中p为质数，求出所有满足x^k=a (mod p),0<=x<=p-1的x。
Input
三个整数p,k,a。
Output
第一行一个整数，表示符合条件的x的个数。 第二行开始每行一个数，表示符合条件的x,按从小到大的顺序输出。
Sample Input
11 3 8
Sample Output
1
2HINT
2<=p<p<=10^9
2<=k<=100000,0<=a
【分析】
终于发现原根的用处了！原根的幂构成模p的缩系，即用原根的幂可以表示所有模p下的数。假设模p下的一个原根是g，对于方程x^k=a(%prim) 可以写成(g^i)^k三g^j(%p),那么有g^j=三a（mod p），j可以用BSGS求得，那么i*k三j(%phi[p])，这个可以用exgcd求出所有可行的i，答案为g^i。
代码如下：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstdlib>
3 #include<cstring>
4 #include<iostream>
5 #include<algorithm>
6 #include<queue>
7 #include<cmath>
8 using namespace std;
9 #define LL long long
10 #define Maxn 1000010
11
12 LL ax,ay;
13 LL exgcd(LL a,LL b)
14 {
15 if(b==0) {ax=1;ay=0;return a;}
16 LL g=exgcd(b,a%b);
17 LL xx=ax;
18 ax=ay;ay=xx-(a/b)*ay;
19 return g;
20 }
21
22 LL np[Maxn];
23 void div(LL x)
24 {
25 np[0]=0;
26 for(LL i=2;i*i<=x;i++) if(x%i==0)
27 {
28 np[++np[0]]=i;
29 while(x%i==0) x/=i;
30 }
31 if(x>1) np[++np[0]]=x;
32 }
33
34 LL qpow(LL x,LL b,LL p)
35 {
36 LL xx=x,pp=p,ans=1;
37 while(b)
38 {
39 if(b&1) ans=(ans*xx)%p;
40 xx=(xx*xx)%p;
41 b>>=1;
42 }
43 return (LL)ans;
44 }
45
46 LL ffind(LL p)
47 {
48 div(p-1);
49 for(LL i=2;i<p;i++)
50 {
51 bool ok=1;
52 for(LL j=1;j<=np[0];j++)
53 {
54 if(qpow(i,(p-1)/np[j],p)==1) {ok=0;break;}
55 }
56 if(ok) return i;
57 }
58 return -1;
59 }
60
61 LL cnt;
62 struct node
63 {
64 LL id,val;
65 }t[Maxn];
66
67 bool cmp(node x,node y) {return (x.val==y.val)?(x.id<y.id):(x.val<y.val);}
68
69 LL t_div(LL x)
70 {
71 LL l=0,r=cnt;
72 while(l<r)
73 {
74 LL mid=(l+r)>>1;
75 if(t[mid].val==x) return t[mid].id;
76 if(t[mid].val>x) r=mid-1;
77 else l=mid+1;
78 }
79 if(t[l].val==x) return t[l].id;
80 return -1;
81 }
82
83 LL BSGS(LL x,LL c,LL p)
84 {
85 t[0].id=0;t[0].val=1;
86 LL sq=(LL)ceil(sqrt((double)p));
87 for(LL i=1;i<=sq;i++) t[i].id=i,t[i].val=(t[i-1].val*x)%p;
88 sort(t,t+1+sq,cmp);
89 cnt=0;
90 for(LL i=1;i<=sq;i++) if(t[i].val!=t[i-1].val) t[++cnt]=t[i];
91
92 LL bm=qpow(x,sq,p);
93 bm=qpow(bm,p-2,p);
94 LL tmp=c;
95 for(LL i=0;i<=sq;i++)
96 {
97 LL now=t_div(tmp);
98 if(now!=-1) return i*sq+now;
99 tmp=(tmp*bm)%p;
100 }
101 return -1;
102 }
103
104 LL op[Maxn];
105
106 int main()
107 {
108 LL p,k,a;
109 scanf("%lld%lld%lld",&p,&k,&a);
110 LL g=ffind(p);
111 LL C=BSGS(g,a,p);
112 if(C==-1) {printf("0\n");return 0;}
113 C%=p-1;
114 LL d=exgcd(k,p-1);
115 if(C%d!=0) {printf("0\n");return 0;}
116 ax*=C/d;
117 ax=(ax%((p-1)/d)+((p-1)/d))%((p-1)/d);
118
119 LL ans=qpow(g,ax,p),id=ax,mx=ans,add=qpow(g,(p-1)/d,p);
120 op[0]=0;
121 op[++op[0]]=ans;
122 LL fs=ans;
123 while(add!=1)
124 {
125 id=ax+((p-1)/d);
126 ans=(ans*add)%p;
127 if(ans==fs) break;
128 op[++op[0]]=ans;
129 }
130 sort(op+1,op+1+op[0]);
131 printf("%lld\n",op[0]);
132 for(LL i=1;i<=op[0];i++) printf("%lld\n",op[i]);
133 return 0;
134 }
[BZOJ 1319]
2016-09-07 13:52:58
时间： 2024-10-11 02:08:19