1. ($14‘$) 计算 $n$ 级行列式 $$\bex D_n=\sev{\ba{ccccc} x_1+a_1^2&a_1a_2&a_1a_3&\cdots&a_1a_n\\ a_2a_1&x_2+a_2^2&a_2a_3&\cdots&a_2a_n\\ a_3a_1&a_3a_2&x_3+a_3^2&\cdots&a_3a_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_na_1&a_na_2&a_na_3&\cdots&x_n+a_n^2 \ea},\mbox{ 其中 }x_1x_2\cdots x_n\neq 0. \eex$$
解答: $$\beex \bea D_n&=\sev{\ba{ccccc} 1&a_1&a_2&\cdots&a_n\\ 0&x_1+a_1^2&a_1a_2&\cdots&a_1a_n\\ 0&a_2a_1&x_2+a_2^2&\cdots&a_2a_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&a_na_1&a_na_2&\cdots&x_n+a_n^2 \ea}\\ &=\sev{\ba{ccccc} 1&a_1&a_2&\cdots&a_n\\ -a_1&x_1&\cdots&0\\ -a_2&0&x_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_n&0&0&\cdots&x_n \ea}\\ &=\sev{\ba{ccccc} 1+\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{x_i}&a_1&a_2&\cdots&a_n\\ 0&x_1&0&\cdots&0\\ 0&0&x_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&x_n \ea}\\ &=1+\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{x_i}. \eea \eeex$$
2. ($20‘$) 设 $a_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})$, $i=1,2,\cdots,r$ 且 $\al_1,\al_2,\cdots,\al_r$ 线性无关, $\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$. 证明: $\al_1,\al_2,\cdots,\al_r,\beta$ 线性相关的充分必要条件是: 线性方程组 $Ax=0$ (这里 $A=(a_{ij})$) 的解都是方程 $\beta x=0$ 的解.
证明: 记线性方程组 $Ax=0$ 的解空间为 $V_1$, 线性方程组 $$\bex \sex{\ba{cc} A\\ \beta\ea}x=0 \eex$$ 的解空间为 $V_2$, 则 $$\bex V_2\subset V_1,\quad \dim V_1=n-\rank(A),\quad \dim V_2=n-\rank\sex{\ba{cc} A\\ \beta\ea}. \eex$$ 于是 $$\beex \bea V_1=V_2&\lra \rank(A)=\rank\sex{\ba{cc} A\\ \beta\ea}\\ &\lra \al_1,\al_2,\cdots,\al_r,\beta\mbox{ 线性相关}. \eea \eeex$$
3. ($24‘$) 设 $\bbR$ 为实数域, $V$ 是线性方程组 $$\bex \ba{rrrrrrrrrrl} 2x_1&+&4x_2&-&2x_3&+&4x_4&-&7x_5&=&0\\ 2x_1& & &+&2x_3&-&4x_4&-&x_5&=&0\\ 3x_1&-&x_2 &+&4x_3&+&4x_4&-&4x_5&=&0\\ 4x_1&-&2x_2&+&6x_3&+&3x_4&-4x_5&=&0 \ea \eex$$ 的所有解构成的集合.
(1) 证明 $V$ 是 $\bbR^5$ (列向量组成的空间) 的子空间;
(2) 求 $V$ 的基与维数;
(3) 求 $V$ 的正交补 $V^\perp$ 的基与维数 ($\bbR^5$ 的内积 $(\al,\beta)=\al^T\beta$).
解答:
(1) 显然.
(2) 由 $$\bex A=\sex{\ba{ccccc} 2&4&-2&4&-7\\ 2&0&2&-4&-1\\ 3&-1&4&4&-4\\ 4&-2&6&3&-4 \ea}\rra \sex{\ba{ccccc} 6&0&6&0&-7\\ 0&6&-6&0&-5\\ 0&0&0&3&-1\\ 0&0&0&0&0 \ea} \eex$$ 知可选 $V$ 的一组基为 $$\bex \sex{\ba{ccccc} -1\\1\\1\\0\\0 \ea},\quad\sex{\ba{ccccc} 7\\5\\0\\2\\6 \ea}, \eex$$ 而 $V$ 的维数为 $2$.
(3) $\dim V^\perp=3$. 设 $y=(y_1,\cdots,y_5)^T\in V^\perp$, 则 $$\bex \ba{rrrrrrrrrrl} -y_1&+&y_2&+&y_3&&&&&=&0,\\ 7y_1&+&5y_2&&&+&2y_4&+&6y_5&=&0. \ea \eex$$ 解得 $V^\perp$ 的一组基 $$\bex \sex{\ba{ccccc} 6\\0\\6\\0\\-7 \ea},\quad \sex{\ba{ccccc} 0\\-6\\6\\0\\5 \ea},\quad \sex{\ba{ccccc} 0\\0\\0\\3\\-1 \ea}. \eex$$
4. ($32‘$) 设 $\bbP$ 是数域, $$\bex V=\sed{f(x)\in \bbP[x];\ f(x)=0\mbox{ 或 }\p (f(x))<n}. \eex$$ 对任意的 $f9x)=a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in V,$ 规定 $$\bex \scrA:\quad f(x)\mapsto a_{n-1}x^{n-1}. \eex$$
(1) 证明 $\scrA$ 是 $V$ 的线性变换;
(2) 求 $\scrA$ 在基 $x{n-1},x^{n-2},\cdots,x,1$ 下的矩阵;
(3) 求 $\scrA$ 的核 $\scrA^{-1}(0)$ 的一组基;
(4) 求 $\scrA$ 的所有特征值和特征向量.
解答:
(1) 显然.
(2) $$\bex \scrA(x^{n-1},x^{n-2},\cdots,1)=(x^{n-1},x^{n-2},\cdots,1)\diag(1,0,\cdots,0). \eex$$
(3) $\scrA^{-1}(0)=\span\sed{x^{n-2},\cdots,1}$.
(4) $\scrA$ 的特征值为 $1$ (单重), $0$ ($n-1$ 重), 相应的特征向量分别为 $$\bex x^{n-1};\quad\quad x^{n-2},\cdots,1. \eex$$
5. ($20‘$) 设 $\bbP$ 是数域, $A,B\in\bbP^{n\times n}$, $C=AB-BA$, 并且 $BC=CB$. 证明:
(1) 对大于 $1$ 的自然数 $k$, 有 $AB^k-B^kA=kB^{k-1}C$;
(2) 设 $f(\lm)$ 是 $B$ 的特征多项式, $f‘(\lm)$ 是 $f(\lm)$ 的微商, 则 $f‘(B)C=0$.
证明:
(1) 结论对 $k\geq 1$ 均成立. 往用数学归纳法证之. 当 $k=1$ 时结论显然成立. 假设当 $k=n$ 时结论成立, 则当 $k=n+1$ 时, $$\beex \bea AB^{n+1}-B^{n+1}A &=(AB^n)B-B(B^nA)\\ &=(AB^n-B^nA)B-B(B^nA-AB^n) +B^nAB-BAB^n\\ &=(nB^{n-1}C)B-B(-nB^{n-1}C) +B^n(AB-BA)-(BA-AB)B^n\\ &\quad+B^{n+1}A-AB^{n+1}\\ &=nB^nC+nB^nC +B^nC+CB^n-(AB^{n+1}-B^{n+1}A)\\ &=2(n+1)B^nC-(AB^{n+1}-B^{n+1}A). \eea \eeex$$ 于是 $$\bex AB^{n+1}-B^{n+1}A=(n+1)B^nC. \eex$$
(2) 由
(1) 及 Hamilton-Caylay 定理, $$\bex 0=Af(B)-f(B)A=f‘(B)C. \eex$$
6. ($20‘$) 设 $\bbR$ 是实数域, $A\in\bbR^{n\times n}$, 且 $A$ 是对称矩阵.
(1) 证明 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 也是实对称矩阵;
(2) 试问 $A$ 与 $A^*$ 合同的充分条件是什么? 并证明你的结论.
证明:
(1) 由 $\bbR$ 是数域知 $A^*=(A_{ij})$ 为实矩阵. 又由 $$\beex \bea A_{ij}&=(-1)^{i+j}\sev{\ba{cccccc} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\\ \ea}\\ &=(-1)^{i+j}\sev{\ba{cccccc} a_{11}&\cdots&a_{j-1,1}&a_{j+1,1}&\cdots&a_{n1}\\ \vdots& &\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{1,i-1}&\cdots&a_{j-1,i-1}&a_{j+1,i-1}&\cdots&a_{n,i-1}\\ a_{1,i+1}&\cdots&a_{j-1,i+1}&a_{j+1,i+1}&\cdots&a_{n,i+1}\\ \vdots& &\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{1n}&\cdots&a_{j-1,n}&a_{j+1,n}&\cdots&a_{nn}\\ \ea} \quad\sex{a_{ij}=a_{ji}}\\ &=(-1)^{j+i}\sev{\ba{cccccc} a_{11}&\cdots&a_{1,i-1}&a_{1,i+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{j-1,1}&\cdots&a_{j-1,i-1}&a_{j-1,i+1}&\cdots&a_{j-1,n}\\ a_{j+1,1}&\cdots&a_{j+1,i-1}&a_{j+1,i+1}&\cdots&a_{j+1,n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,i-1}&a_{n,i+1}&\cdots&a_{1n}\\ \ea}\quad\sex{|B^T|=|B|}\\ &=A_{ji}. \eea \eeex$$ 知 $A^*$ 对称.
(2) 由 $A,A^*$ 实对称知它们正交相似与对角阵, $A$, $A^*$ 分别合同于 $$\bex \diag\sex{\lm_1,\cdots,\lm_n},\quad \diag\sex{\prod_{i\neq 1}\lm_i,\cdots,\prod_{i\neq n}\lm_i}. \eex$$ 于是 $A,A^*$ 合同等价于上述两对角阵合同, 而 $A$ 的特征值全大于 $0$ 能够保证上述两对角阵合同 (均合同于单位阵). 如此, $A$ 正定是 $A,A^*$ 合同的一个充分条件.
7. ($20‘$) 设 $V$ 是数域 $\bbP$ 上的 $n$ 维线性空间, $\ve_1,\cdots,\ve_r,\ve_{r+1},\cdots,\ve_n$ 是 $V$ 的一组基, $$\bex V_1=L(\ve_1,\cdots,\ve_r),\quad V_2=L(\ve_{r+1},\cdots,\ve_n). \eex$$
(1) 证明 $V=V_1\oplus V_2$;
(2) 设 $\scrA$ 是 $V_1$ 的线性变换, $\scrB$ 是 $V_2$ 的线性变换, 求 $V$ 的线性变换 $\scrC$ 使得 $V_1,V_2$ 都是 $\scrC$-不变子空间, 并且 $\scrC$ 在 $V_1,V_2$ 上的显示分别为 $$\bex \scrC|_{V_1}=\scrA,\quad \scrC|_{V_2}=\scrB. \eex$$
证明:
(1) 显然.
(2) 取 $$\bex \scrC\sex{\sum_{i=1}^n k_i\ve_i} =\sum_{i=1}^r k_i\scrA(\ve_i) +\sum_{i=r+1}^n k_i\scrB(\ve_i) \eex$$ 即可.