[数分提高]2014-2015-2第5教学周第2次课

设 $f$ 在 $x=a$ 处连续, $|f|$ 在 $x=a$ 处可导. 试证: $f$ 在 $x=a$ 处可导.

证明: (1). 若 $f(a)>0$, 则由连续函数的保号性, $$\bex \exists\ \delta>0,\st x\in (a-\delta,a+\delta)\ra f(x)>0\ra \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}. \eex$$ 令 $x\to a$, 有 $$\bex f‘(a)=|f|‘(a). \eex$$ (2). 若 $f(a)=0$, 则 $$\bex |f|‘(a)=\lim_{x\to a}\frac{|f(x)|}{x-a}. \eex$$ 注意到 $$\bex x<a\ra \frac{|f(x)|}{x-a}\leq 0,\quad x\geq a\ra \frac{|f(x)|}{x-a}\geq 0, \eex$$ 我们有 $$\bex |f|‘(a)=|f|‘_-(a)\leq 0,\quad |f|‘(a)=|f|‘_+(a)\geq 0. \eex$$ 而 $|f|‘(a)=0$, $$\bex 0=\lim_{x\to a}\frac{|f(x)|}{x-a}\cdot \frac{x-a}{|x-a|} =\lim_{x\to a}\sev{\frac{f(x)}{x-a}} =\sev{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}}, \eex$$ $$\bex 0=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}=f‘(a). \eex$$ (3). 若 $f(a)<0$, 则同 (1), $$\bex \exists\ \delta>0,\st x\in (a-\delta,a+\delta)\ra f(x)<0\ra \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=-\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}. \eex$$ 令 $x\to a$, 有 $$\bex f‘(a)=-|f|‘(a). \eex$$

时间： 2024-11-09 02:55:19

[数分提高]2014-2015-2第5教学周第2次课的相关文章

[数分提高]2014-2015-2第6教学周第2次课讲义 3.4 导数的综合应用

1. 试证: $$\bex \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leq \frac{|a|}{1+|a|} +\frac{|b|}{1+|b|}. \eex$$ 2. 试证: (1). $$\bex 0<x<1\ra x-\frac{1}{x}<2\ln x. \eex$$ (2). 设 $f$ 在 $(0,\infty)$ 上 $\searrow$, 可导, $$\bex x\in (0,\infty)\ra 0<f(x)<|f'(x)|, \eex$$ 则 $$

[数分提高]2014-2015-2第5教学周第2次课讲义 3.2 微分中值定理

1. 设 $f$ 在 $(a,b)$ 内可微, $$\bex \lim_{x\to a^+}f(x)=A=\lim_{x\to b^-}f(x). \eex$$ 试证: $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st f'(\xi)=0. \eex$$ 2. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, $f(0)=0$, $f(1)=1$, $k_1,\cdots,k_n$ 为 $n$ 个正数. 试证: $$\bex \exists\ 0\leq x_1<\cdots<x_n\

[数分提高]2014-2015-2第1教学周第1次课

求极限 $$\bex \vlm{n}\dfrac{(n^2+1)(n^2+2)\cdots(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)\cdots(n^2-n)}. \eex$$ 解答: 还记得对数不等式么: $$\bex \dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,\quad x>0. \eex$$ 我们有 $$\beex \bea \ln\dfrac{n^2+i}{n^2-i}&=\ln\sex{1+\dfrac{2i}{n^2-i}} <\dfrac{2i}

[数分提高]2014-2015-2第1教学周第2次课

设 $$\bex x_n=\sum_{k=2}^n \frac{\cos k}{k(k-1)}, \eex$$ 是判断 $\sed{x_n}$ 是否收敛? 解答: 由 $$\beex \bea |x_{n+p}-x_n|&=\sev{\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{\cos k}{k(k-1)}} \leq \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k(k-1)} =\sum_{k=n+1}^{n+p}\sex{\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}} =

[数分提高]2014-2015-2第2教学周第1次课

设 $a_n\to a$, 试证: $$\bex \vlm{n}\frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{1+2+\cdots+n}=a. \eex$$ 证明: (1). 用 $a_n-a$ 代替 $a_n$ 而不妨设 $a=0$. (2). 设 $a_n\to 0$, 则 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ N_1,\st n>N_1\ra |a_n|<\frac{\ve}{2}. \eex$$ 对上述 $N_1$, 由 $\dps{\vlm

[数分提高]2014-2015-2第4教学周第2次课

设 $|f|$ 在 $\bbR$ 上一致连续, $f$ 连续. 试证: $f$ 一致连续. 证明: 由 $|f|$ 在 $\bbR$ 上一致连续知 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\st |x-y|<\delta\ra ||f(x)|-|f(y)||<\frac{\ve}{2}. \eex$$ 若 $f(x),f(y)$ 同号, 则 $$\bex |f(x)-f(y)|=||f(x)|-|f(y)||<\frac{\ve}{

[数分提高]2014-2015-2第8教学周第2次课 (2015-04-23)

设 $f\in C[a,b]$, 则 $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st \int_a^b f(x)\rd x=f(\xi)(b-a). \eex$$ 证明: 记 $$\bex F(x)=\int_a^xf(t)\rd t, \eex$$ 则 $$\bex \int_a^bf(x)\rd x=F(b)=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a). \eex$$

[数分提高]2014-2015-2第10教学周第1次课 (2015-05-04)

1. $$\bex \al\in\bbR\ra \int_0^\infty \frac{\rd x}{(1+x^2)(1+x^\al)}=? \eex$$ 解答: $$\beex \bea \int_0^\infty \frac{\rd x}{(1+x^2)(1+x^\al)}&=\int_0^1\cdots+\int_1^\infty\cdots\\ &=\int_1^\infty \frac{x^\al \rd x}{\cdots}+\int_1^\infty \frac{\rd x}

[数分提高]2014-2015-2第10教学周第2次课 (2015-05-07)

试判断 $$\bex \int_{-\infty}^{+\infty}x^ne^{-\sex{x^2+\frac{1}{x^2}}}\rd x\quad(n\in\bbN) \eex$$ 的敛散性. 解答: $$\bex \int_{-\infty}^{+\infty}x^ne^{-\sex{x^2+\frac{1}{x^2}}}\rd x =\int_{-\infty}^{-1}+\int_{-1}^0 +\int_0^1+\int_1^{+\infty} x^ne^{-\sex{x^2+\f