[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 积分估计)

[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 多项式的辗转相除与线性变换) 设 $V$ 是由次数不超过 $4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记 $$\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x). \eex$$ 设 $\scrA$ 是 $V$ 到 $V$ 的映射, 使得 $$\bex \scrA(f(x))=r(x). \eex$$ 试证

[再寄小读者之数学篇](2014-06-28 证明级数几乎处处收敛) 设 $f\in L(\bbR)$, 试证: $$\bex \vsm{n}f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数. [再寄小读者之数学篇](2014-06-27 向量公式: The Hall term) $$\bex \n\cdot{\bf b}=0\ra \n\times [(\n\times {\bf b})\times {\bf b}]=\n\times [\n\cdot

设 f 在 [0,1] 上连续, 在 (0,1) 内二阶可导, 且 limx→0f(x)x2 存在,∫10f(x)dx=f(1). 证明: 存在 ξ∈(0,1) , 使得 f′′(ξ)+2ξf′(ξ)=0 . 证明: 由 limx→0f(x)x2 存在知 f(0)=0 , 而 f′(0)=limx→0f(x)x2?x=0. 又由积分中值定理 (与书上的不同, 要变形, 证明利用微分中值定理), ? η∈(0,1),s.t. f(η)=∫10f(x)dx=f(1). 再据 Rolle 定理, ? 

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且满足条件 $\dps{f(1)=3\int_0^{1/3} e^{x-1}f(x)\rd x}$, 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f(\xi)+f'(\xi)=0$. 证明: 取 $F(x)=e^xf(x)$, 则由中值定理, $$\bex \exists\ \eta\in (0,1/3),\st F(1)=ef(1)=3\int_0^{1/3}e^xf(x)\rd x=\eta f(\eta)=F(\eta). \eex$$

证明: 当 $m<2$ 时, $\dps{\lim_{x\to 0^+}\cfrac{1}{x^m}\int_0^x \sin \cfrac{1}{t}\rd t=0}$. 证明: $$\beex \bea \lim_{x\to 0^+}\cfrac{1}{x^m}\int_0^x \sin \cfrac{1}{t}\rd t &=\lim_{x\to 0^+} \cfrac{1}{x^m} \int_0^x t^2\rd \cos \cfrac{1}{t}\\ &=\lim_{x\

设 $f\in C^2[0,\pi]$, 且 $f(\pi)=2$, $\dps{\int_0^\pi [f(x)+f''(x)]\sin x\rd x=5}$. 求 $f(0)$. 解答: 由 $$\beex \bea 5&=\int_0^\pi [f(x)+f''(x)]\sin x\rd x\\ &=\int_0^\pi f(x)\sin x\rd x +\int_0^\pi \sin x\rd f'(x)\\ &=\int_0^\pi f(x)\sin x\rd x -\i

∫△f|f|q?2fdx=?∫?f?[(q?2)|f|q?3f|f|?f?f+|f|q?2?f]dx=?∫(q?2)|f|q?4|f|2|?f|2+|f|q?2|?f|dx=?(q?1)∫|f|q?2|?f|2dx=?(q?1)∫|f|q?2|?|f||2dx(?|f|=f|f|?f)=?(q?1)∫||f|q2?1?|f||2dx=?4(q?1)q2∫|?|f|q2|2dx.

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$ [再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式),布布扣,bubuko.com

$$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq \sen{D^k f}_{L^p}\leq C2^{jk} \sen{f}_{L^p}; \eex$$ $$\bex \supp \hat u\subset \sed{|\xi|\leq 2^j} \ra \sen{f}_{L^q}\leq C2^{jn\sex{\frac{1}{p}-\frac{

(1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &\quad s>0,\ q\in [1,\infty],\quad p_1,r_1\in [1,\infty],\ \cfrac{1}{p}=\cfrac{1}{p_1}+\cfrac{1}{p_2}=\cfrac{1}{r_1}+\cfrac{1}{r_2}\\ &\ra \sen{fg