Harish - Chandra 同态

符号约定

• $\mathfrak{g}$ 为有限维复半单李代数，$U(\mathfrak{g})$ 是 $\mathfrak{g}$ 的泛包络代数。
• $\mathfrak{h}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的 Cartan 子代数。
• $\Phi_+,\Phi_{-}$ 分别是正根和负根组成的集合。
• $\Delta=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$ 是一组单根系。
• $\mathfrak{g}=\mathfrak{n}^+\oplus\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{n}^-$ 是三角分解。
• $\mathfrak{b}=\mathfrak{n}^+\oplus\mathfrak{h}$ 是 Borel 子代数。
• $W$ 是 Weyl 群。
• $P$ 为 $\mathfrak{g}$ 的权格点，即对任何 $\alpha\in\Delta$ 和 $\lambda\in P$ 有

  \[\langle\lambda,\alpha\rangle=2\frac{(\lambda,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\in\mathbb{Z}_{\geq0}.\] $P_+$ 为所有支配整权组成的集合。

• $Q_+=\{\sum k_i\alpha_i,k_i\in\mathbb{Z}_{\geq0},\alpha_i\in\Phi_+\}$ 为正根的非负整系数线性组合组成的半群。
• $\rho=\frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha\in\Phi_+}\alpha$ 是所有正根之和的一半。