笔记：LCA最近公共祖先 Tarjan(离线)算法

LCA最近公共祖先

Tarjan他贱(离线)算法的基本思路及其算法实现

本文是网络资料整理或部分转载或部分原创，参考文章如下：

https://www.cnblogs.com/JVxie/p/4854719.html

http://blog.csdn.net/ywcpig/article/details/52336496

https://baike.baidu.com/item/最近公共祖先/8918834?fr=aladdin

最近公共祖先简称LCA（Lowest Common Ancestor）：

所谓LCA：是当给定一个有根树T时，对于任意两个结点u、v，找到一个离根最远的结点x，使得x同时是u和v的祖先，x 便是u、v的最近公共祖先。

再通俗地解释一下：在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。LCA还可以将自己视为祖先节点。

本文为了简化，多使用二叉树来讨论。

举个例子，如针对下图所示的一棵普通的二叉树来讲：

结点3和结点4的最近公共祖先是结点2，即LCA（3，4）=2 。

需要注意到当两个结点在同一棵子树上的情况。

如结点3和结点2的最近公共祖先为2，即 LCA（3，2）=2。

同理：LCA（5，6）=4，LCA（6，10）=1。

明确了题意，咱们便来试着解决这个问题。直观的做法，可能是针对是否为二叉查找树分情况讨论，这也是一般人最先想到的思路。除此之外，还有Tarjan算法、倍增算法、以及转换为RMQ问题（求某段区间的极值）。

我们先来讲讲暴力解法：

解法一：如果是二叉查找树，如下图：

那么从树根开始：

如果当前结点t 大于结点u、v，说明u、v都在t 的左侧，所以它们的共同祖先必定在t 的左子树中，故从t 的左子树中继续查找；

如果当前结点t 小于结点u、v，说明u、v都在t 的右侧，所以它们的共同祖先必定在t 的右子树中，故从t 的右子树中继续查找；

如果当前结点t 满足 u <t < v，说明u和v分居在t 的两侧，故当前结点t 即为最近公共祖先；

而如果u是v的祖先，那么u就是最近公共祖先，同理，如果v是u的祖先，那么v就是最近公共祖先。

伪代码如下所示：

int query(Node t, Node u, Node v) {    
    int left = u.value;    
    int right = v.value;    
 
   //二叉查找树内，如果左结点大于右结点，就交换。不知道为什么要交换  
    if (left > right) {    
        int temp = left;    
        left = right;    
        right = temp;    
    }    
 
    while (true) {    
        //如果t小于u、v，往t的右子树中查找  
        if (t.value < left) {    
            t = t.right;    
        //如果t大于u、v，往t的左子树中查找  
        } else if (t.value > right) {    
            t = t.left;    
        } else {    
            return t.value;    
        }    
    }    
}

如果不是二叉查找树，对于每个询问，就暴力遍历所有的点，时间复杂度为O(n*q)，q是询问的次数。很明显，n和q一般不会很小。此处略......

解法二：Tarjan(离线)算法解决LCA

离线算法就是指统一输入后再统一输出，而不是边输入边实时输出。Tarjan算法的复杂度为O（N+Q），Q为询问的次数。相当于一次性批量处理，一开始就知道了全部查询，只待询问。

下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路：看不明白没关系，我们后面会模拟的。

　　1.任选一个点为根节点，从根节点开始。

　　2.遍历该点u所有子节点v，并标记这些子节点v已被访问过。

　　3.若是v还有子节点，返回2，否则下一步。

　　4.合并v到u上。

　　5.寻找与当前点u有询问关系的点v。

6.若是v已经被访问过了，则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。

遍历的话需要用到dfs来遍历，至于合并，最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。

下面上伪代码：

Tarjan(u) //marge和find为并查集合并函数和查找函数
{
    for each(u,v)    //访问所有u的子节点v
    {
        Tarjan(v);   //继续往下遍历
        marge(u,v);  //合并v到u上， 标记v被访问过;
    }
    for each(u,e)    //访问所有和u有询问关系的e
    {
        如果e被访问过; u,e的最近公共祖先为find(e);
    }
}

我们先来直接模拟一下用Tarjan来解决LCA，然后再总结。

假设我们有一组数据 9个节点 8条边联通情况如下：

1--2，1--3，2--4，2--5，3--6，5--7，5--8，7--9 即下图所示的树

设我们要查找最近公共祖先的点为9和8，4和6，7和5，5和3；

设f[]数组为并查集的父亲节点数组，初始化f[i]=i，vis[]数组为是否访问过的数组，初始为0;