基于牛顿冷却定律的时间衰减函数模型

摘要

牛顿冷却定律数学模型一般都是用来与时间有关的衰减的模型上，比如随着时间的变化，用户对某一个品类商品的衰减过程变化，用户在投票过程中对票数衰减过程的模拟等基本原理都是建立在牛顿冷却定律的基础之上，增加相应的边界条件，从而得到适合自己应用场景的模型。

牛顿冷却定律模型

牛顿冷却定律所描述的一件事情是，一个比较热的物体，在一个温度比这个物体低的环境下，这个较热的物体的温度是要降低的，周围的温度是要上升的，最后物体的温度和周围的温度达到平衡，在这个过程中温度的温度变化是不是有规律的啊？我们的大科学家牛顿就考虑了这个问题，并且还真发现了这个规律，这个规律是物体温度的降低速率和物体和

周围当前温度的差成比例关系的，用数学的表示方法就是：

其中：T(t)：物体当前的温度

H：为周围的温度

k： 为比例系数

有上述公式可以看出是一个微分方程

牛顿冷却定律模型的求解

由上式可以看出是一个微分方程，而且还是一个很简单的微分方程，只要稍微进行变化就可以进行求解：

对上式做一个变换如下：

对上式再次进行变化,并对等式两边求积分得：

那么上述就是两个最基本的两个求积分的公式：

因此可以得到牛顿冷却定律的求解：

其中B是微分方程求解的求解因子,对上式进行转化可以得到如下的转化关系：

最终的结果中还存在一个变量C，我们需要根据初始条件进行求解，初始条件：T(0)：物体的初始温度，H：周围环境的温度，t0初始时刻，带入上式可以得到：

把C的表达式带入到求解的公式中可以得到：

当H等于0是就可以得到如下公式：

就可以看到牛顿冷却公式的衰减过程，k是我们自己设定的衰减系数，经过t时间后，物体当前的问题是由初始温度和衰减速率的乘积

根据牛顿冷却公式再结合我们自己的应用场景，可以给出我们自己的时间衰减相关的数学模型，但是这些模型的基础都是基于牛顿冷却公式。