Lucas定理及其应用

Lucas定理这里有详细的证明。

其实就是针对n, m很大时，要求组合数C(n, m) % p, 一般来说如果p <= 10^5,那么就能很方便的将n，m转化为10^5以下这样就可以按照乘法逆元的方法求解。

定义：

C(n, m) = C(n%p, m%p)*C(n/p, m/p) (mod p)

一种比较好理解的证明方式是这样的， 上面资料中有提到，

由p为质数，(1+x)^p = 1+x^p (mod p) p为质数，然后就是下面这幅图的内容了。

将n, m分别表示成p进制，n = n/p*p+a0, m = m/p*p+b0;

那么对于上面式子x^m的系数，左右两部分肯定是相等的，左边系数C(n, m) ，  而m = m/p*p+b0, 那么i和j分别对应m/p, 和bo

所以就可以得到证明：C(n, m) = C(n%p, m%p)*C(n/p, m/p) (mod p)。

下面就是具体题目了：

HDU

 1 #include <iostream>
 2 #include <string.h>
 3 #include <stdio.h>
 4 using namespace std;
 5
 6 #define N 100010
 7
 8 long long mod_pow(int a,int n,int p)
 9 {
10     long long ret=1;
11     long long A=a;
12     while(n)
13     {
14         if (n & 1)
15             ret=(ret*A)%p;
16         A=(A*A)%p;
17         n>>=1;
18     }
19     return ret;
20 }
21
22 long long factorial[N];
23
24 void init(long long p)
25 {
26     factorial[0] = 1;
27     for(int i = 1;i <= p;i++)
28         factorial[i] = factorial[i-1]*i%p;
29     //for(int i = 0;i < p;i++)
30         //ni[i] = mod_pow(factorial[i],p-2,p);
31 }
32
33 long long Lucas(long long a,long long k,long long p) //求C(n,m)%p p最大为10^5。a,b可以很大！
34 {
35     long long re = 1;
36     while(a && k)
37     {
38         long long aa = a%p;long long bb = k%p;
39         if(aa < bb) return 0; //这个是最后的改动！
40         re = re*factorial[aa]*mod_pow(factorial[bb]*factorial[aa-bb]%p,p-2,p)%p;//这儿的求逆不可先处理
41         a /= p;
42         k /= p;
43     }
44     return re;
45 }
46
47 int main()
48 {
49     int t;
50     cin >> t;
51     while(t--)
52     {
53         long long n,m,p;
54         cin >> n >> m >> p;
55         init(p);
56         cout << Lucas(n+m,m,p) << "\n";
57     }
58     return 0;
59 }