回顾
上篇通过EM算法思想来求解 HMM 的参数 \(\theta=(\pi, A,B)\) 即 初始状态概率(向量), 状态转移概率(矩阵), 发射概率矩阵. 在上帝视角, 即已知隐变量 Z , 则通过简单的词频统计, 再归一化 就求解参数了.
而问题在于我们不是上帝, 只能通过观测值 X , 通过 F/B 算法 来求解出 Z, 即:
\(p(z_k|x) = \frac {p(z_k, x)}{p(x)}\) 这是求解目标
这里的 x 表示所有的 n 个样本嘛, 因此为了和 F, B 产生联系, 可以将 x 进行划分 (展开).
Forward: \(p(z_k | x_{1...k})\)
Backward: \(p(x_{k_1...n} | z_k)\)
\(p(z_k, x) = p(z_k, x_{1...k}, x_{k+1...n})\)
\(=p(z_k, x_{1...k}) \ p(x_{k+1...n} | z_k, x_{1..k})\)
条件概率: P(a, b) = P(a)P(b|a) = P(b) P(a|b)
可以省略掉 \(x_{1...k}\) 考虑条件独立的情况下, 其对条件概率是没有影响的, 参考: D-separation性质
\(=p(z_k, x_{1...k}) \ p(x_{k+1...n} | z_k)\) 最核心公式
框架搭建起来了, 然而如何去求解这个公式, 还没有搞好, 于是这篇就来整一波计算 F/B 的细节.
Forward 算法求解
\(X: x_1, x_2, x_3, ...x_n\) 每个观测是一个向量哦
\(Z : z_1, z_2, ...z_k ..z_n\) 每个隐变量是一个值
$Z \rightarrow X $ 发射概率矩阵
\(Z \rightarrow Z\) 转移概率矩阵
需求: \(p(z_k, x_{1...k})\) 这个 概率值 (注: \(z_k\) 是个标量, \(x_{1..k}\) 是个向量)
要求解这个问题, 还是要用 动态规划 , 即把大的问题, 不断拆解为更小的问题来求解, 最直观的拆解, 即:
\(p(z_k, x_{1...k}) \ 拆解为: \ p(z_{k-1}, x_{1..k-1})\)
在动态规划的框架下呢,
相当于 \(p(z_k, x_{1...k}) = 某式子 * p(z_{k-1}, x_{1...k-1})\)
因为, 这是它的子问题. 怎么做呢, 嗯首先, 观察一波右边, 看哪些变量是没有出现在左边的, 比如 \(x_{1...k-1}\) 其实是包含在左边式子中的, 而 \(z_{k-1}\) 是没有出现在左边式子的.
即我们要想办法, 将左边的式子, 称为有包含右边的 \(z_{k-1}\) 项的, 方式就是求和, 如果是连续型, 就进行积分 呀.
\(p(z_k, x_{1...k}) = \sum \limits _{z_{k-1}} p(z_{k-1}, z_k, x_{1...k})\)
注意 \(\sum\) 的下标是 \(z_{k-1}\) 跟前面对 X 进行分段是有类似的思想
然后, 后面的工作就是要将这个式子, 如何转换为 \(某式子 * p(z_{k-1}, x_{1...k-1})\) 的形式. 同上一样, 对 X 进行拆分:
\(=\sum \limits _{z_{k-1}} p(z_{k-1}, z_k, \ x_{1...k-1}, \ x_k)\)
\(=\sum \limits _{z_{k-1}} p(z_{k-1}, x_{1...k-1}) \ p(z_k | z_{k-1}, x_{1...k-1}) \ p(x_k | z_k, z_{k-1}, x_{1...k-1})\)
就是利用联合概率公式 P(a, b, c) = P(a) P(b|a) P(c|a, b) 注意是有向的哈, 根据之前的有向图是一样的.
这里来仔细分析一波这个求和里面的 公式:
- \(p(z_{k-1)}, x_{1...k-1})\) 是咱要的 子问题
- \(p(z_k|z_{k-1}, x_{1...k-1})\) 如果不考虑 \(x_{1...k-1}\) 则变为 \(p(z_k | z_{k-1})\) 就是咱熟悉的 状态转移矩阵
- \(p(x_k | z_k, z_{k-1}, x_{1...k-1} )\) 如果不考虑 \(z_k, x_{1...k-1}\) 则变为 \(p(x_k | z_k)\) 就是咱熟悉的 发射概率矩阵
从上篇已经知道了, 在模型已经的情况下, 是很容易计算 发射概率和状态转移的, 因此, 我们现在又要来考虑, 上面 如果不考虑的变量, 是否对咱的条件概率产生影响. 判断是方式依然是 D-separation 规则:
- 对于 \(p(z_k|z_{k-1}, x_{1...k-1})\) 涉及的元素, \(x_{1...k-1}, z_{k-1}, z_k\) 恰好是满足" tail to tail " 因此 \(x_{1...k-1}\) 不影响结果
- 对于 \(p(x_k | z_k, z_{k-1}, x_{1...k-1})\) 涉及, \(x_{1...k-1}, z_{k-1}, z_k, x_k\) 这恰好是"tail to head"因此 \(x_{1...k-1}, z_{k-1}\)不影响结果
\(p(z_k, x_{1...k}) = \sum \limits _{z_{k-1}} p(z_{k-1}, x_{1...k-1}) \ p(z_k | z_{k-1}) p(x_k | z_k)\)
后两项是状态转移矩阵 和 发射概率矩阵, 知道模型参数下, 是非常容易计算的, 现就关注:
类似EM算法的 E 步, 计算的时候, 也可手工初始化一个值来进项不断迭代计算的
\(p(z_{k-1}, x_{1...k-1})\) 这个就是典型的 动态规划 了.
如果把上边 \(p(z_k, x_{1...k})\) 看为是 \(\alpha_k(z_k)\) , 则 \(p(z_{k-1}, x_{1...k-1})\) 就是 \(\alpha_{k-1} (z_{k-1})\) .... 这样的一个动态过程, 其复杂度是 \(O(n*m^2)\)
动态规划的思想是, 将大的问题拆解为子问题, 即把之前的计算的过程保存下来, 再反复使用哦.
Backward 算法求解
前边的 Froward 算法是用来计算 \(p(z_k | x_{1...k})\) 的概率值.
此处 Backward 算法则是来计算 \(p(x_{k+1...n} | z_k)\) 的概率值.
求解思路也是一样的, 不过要注意这里是 backward 即是从后面往前, 进行子问题拆分, 即:
\(p(x_{k+1...n} | z_k) = 某个项 * p(x_{k+1...}| z_{k+1})\)
\(=\sum \limits _{z_{k+1}} p(x_{k+2...n}, x_{k+1}, z_{k+1} |z_k)\)
同上一样的拆分方法 即 P(a, b, c) = P(a) P(b|a) P(c|a, b)
\(=\sum \limits _{z_{k+1}}p(z_{k+1}|z_k) \ p(x_{k+1}|z_{k+1}, z_k) p(x_{k+2...n} |z_{k+1}, z_k, x_{k+1})\)
同样用 D-separation 的性质来进行 判断看是否能无关变量
\(=\sum \limits _{z_{k+1}} p(x_{k+2...n} |z_{k+1}) \ p(x_{k+1}|z_{k+1}) \ p(z_{k+1}|z_k)\)
得到跟之前一样的形式, 即这3项分别为: 子问题, 发射概率, 转移矩阵
然后同样对子问题: \(p(x_{k+2..n}|z_{k+1})\) 进行动态规划求解.
至此, 我们已经能知道, 在已知 X 的前提下, 对任意状态 Z_k 是可以求解的, 即 \(p(z_k|x)\) , Forward * Backward 核心思想还是 EM算法呀. 这样对于 HMM 算法的参数求解, 针对已知 X, Z 直接统计即可; 在知道 X, 不知 Z 的情况下, 通过 EM 算法求解即可, 核心技巧是 F/B 算法, 而本篇对 F/B 算法的细节也做了推导, 其核心还是 发射概率, 状态转移还有动态规划求解, 至此, HMM 算是稍微明白了许多.
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