特征提取和特征选择都是从原始特征中找出最有效（同类样本的不变性、不同样本的鉴别性、对噪声的鲁棒性）的特征。
区别与联系
特征提取：将原始特征转换为一组具有明显物理意义（Gabor、几何特征[角点、不变量]、纹理[LBP HOG]）或者统计意义或核的特征。
特征选择：从特征集合中挑选一组最具统计意义的特征，达到降维。
两者的共同作用：
1 减少数据存储和输入数据带宽；
2 减少冗余；
3 低纬上分类性往往会提高；
4 能发现更有意义的潜在的变量，帮助对数据产生更深入的了解。
线性特征提取
PCA-主成分分析
思想：寻找表示数据分布的最优子空间（降维，可以去相关）。
其实就是取协方差矩阵前s个最大特征值对应的特征向量构成映射矩阵，对数据进行降维。
具体可以参考下面这篇讲的很直观详细的文章。
LDA-线性判别分析
思想：寻找可分性判据最大的子空间。
用到了Fisher的思想，即寻找一个向量，使得降维后类内散度最小，类间散度最大；其实就是取S−1wSbSw−1Sb前s个特征值对应的特征向量构成映射矩阵，对数据进行处理。
DHS的模式分类一书中96页有详细的推导，浅显易懂，论文1也非常值得阅读。
ICA-独立成分分析
思想：PCA是将原始数据降维，并提取不相关的部分；ICA是将原始数据降维并提取出相互独立的属性；寻找一个线性变换z=Wxz=Wx,使得z的各个分量间的独立性最大，I(z)=Elnp(z)p(z1)...p(zd)I(z)=Elnp(z)p(z1)...p(zd)
具体可参考Machine Learning: A Probabilistic Perspective的推导计算及论文2。
PCA VS ICA
PCA的问题其实是一个基的变换，使得变换后的数据有着最大的方差。方差的大小描述的是一个变量的信息量，我们在讲一个东西的稳定性的时候，往往说要减小方差，如果一个模型的方差很大，那就说明模型不稳定了。但是对于我们用于机器学习的数据（主要是训练数据），方差大才有意义，不然输入的数据都是同一个点，那方差就为0了，这样输入的多个数据就等同于一个数据了。
ICA是找出构成信号的相互独立部分(不需要正交)，对应高阶统计量分析。ICA理论认为用来观测的混合数据阵X是由独立元S经过A线性加权获得。ICA理论的目标就是通过X求得一个分离矩阵W，使得W作用在X上所获得的信号Y是独立源S的最优逼近，该关系可以通过下式表示：
Y=WX=WAS,A=W−1Y=WX=WAS,A=W−1
ICA相比与PCA更能刻画变量的随机统计特性，且能抑制高斯噪声。
二维PCA
参考论文3
CCA-典型对应分析（Canonical Correlaton Analysis）
思想：找到两组基，使得两组数据在这两组基上的投影相关性最大。
用来描述两个高维变量之间的线性关系
用PLS（Partial Least Squares）来求解,参考论文4
非线性特征提取
Kernel PCA
参考论文5
Kernel FDA
参考论文6
Manifold Learning 流形学习
找到流形上的低维坐标。
利用流形学上的局部结构进行降维的方法有：ISOMAP、LLE、Laplacian Eigenmap、LPP 参考文献7,8,9,10。
准则性质总结
准则需满足的条件
特征提取与特征选择的准则需要满足：
- 单调性：J(x1,...,xn)<=J(x1,...,xs,xs+1)J(x1,...,xn)<=J(x1,...,xs,xs+1)
- 可加性：J(x1,...,xs)=∑iJ(xi)J(x1,...,xs)=∑iJ(xi)
- 不变性：J(x)=J(AX)J(x)=J(AX)线性变换下
- 度量性：Jij>=0,Jij=Jji,Jij=0ifandonlyifi=jJij>=0,Jij=Jji,Jij=0ifandonlyifi=j
- 与错误率的上界或者下届有单调关系，或者说本身就是错误率的上界或者下届
大致可分为三类
基于欧式距离的准则
- 整体散度 St=12N2∑i,j(xi−xj)(xi−xj)‘=Sw+SbSt=12N2∑i,j(xi−xj)(xi−xj)‘=Sw+Sb
- PCA:tr(St)tr(St)
- LDA:tr(Sb)/tr(Sw)tr(Sb)/tr(Sw)
- 基于距离的准侧概念直观，计算方便，但与错误率没有直接关系
基于概率距离的准则
- Bhattacharyya距离 JB=−ln∫Ω[p(?a|w1)p(?a|w2)]12d?xJB=−ln∫Ω[p(a→|w1)p(a→|w2)]12dx→
- Chernoff界限 JC=−ln∫Ωp(?a|w1)sp(?a|w2)1−sd?x,0<s<1JC=−ln∫Ωp(a→|w1)sp(a→|w2)1−sdx→,0<s<1
- KL散度 Iij(?x)=Ei[lnp(?x|wi)p(?x|wj)]Iij(x→)=Ei[lnp(x→|wi)p(x→|wj)]
基于熵的准则
- 熵函数 H=JC[P(w1|x),...,P(wc|x)]H=JC[P(w1|x),...,P(wc|x)]
- 香农熵 J1C=−∑Ci=1P(wi|x)log2P(wi|x)JC1=−∑i=1CP(wi|x)log2P(wi|x)
- 平方熵 J2C=2[1−∑ci=1P2(wi|x)]JC2=2[1−∑i=1cP2(wi|x)]
- 广义熵 JaC[P(w1|x),...,P(wc|x)]JCa[P(w1|x),...,P(wc|x)]
以上只是一个简短的概述性文章，建议根据参考文献进行扩展性阅读。
参考文献
[1] Hua Yu and JieYang, A direct LDA algorithm for high - dimensional data with application to face recognition, Pattern Recognition Volume 34, Issue 10, October 2001,pp.2067- 2070
[2] A. Hyvarinenand E. Oja. Independent Component Analysis: Algorithms and Applications. Neural Networks, 13(4- 5):411 -430, 200
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[8] Sam T. Roweis , and Lawrence K. Saul, Nonlinear Dimensionality Reduction by Locally Linear Embedding,Science 22 December 2000
[9] Mikhail Belkin , Partha Niyogi ,Laplacian Eigenmaps for Dimensionality Reduction and Data Representation , Computation , 200
[10] Xiaofei He, Partha Niyogi, Locality Preserving Projections, Advances in Neural Information Processing Systems 16 (NIPS 2003), Vancouver, Canada, 2003