一 基本概念

分治法，顾名思义分而治之的意思，就是把一个复杂的问题分成两个或很多其它的同样或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题能够简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

二基本思想及策略

分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，切割成一些规模较小的同样问题，以便各个击破，分而治之。

分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题能够easy地解决（比方说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式同样，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这样的算法设计策略叫做分治法。

假设原问题可切割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这样的分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这样的情况下，重复应用分治手段，能够使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，终于使子问题缩小到非常easy直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，常常同一时候应用在算法设计之中，并由此产生很多高效算法。

三、分治法特征

分治法所能解决的问题一般具有下面几个特征：

1)该问题的规模缩小到一定的程度就能够easy地解决

2)该问题能够分解为若干个规模较小的同样问题，即该问题具有最优子结构性质。

3)利用该问题分解出的子问题的解能够合并为该问题的解；

4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包括公共的子问题。

第一条特征是绝大多数问题都能够满足的，由于问题的计算复杂性通常是随着问题规模的添加?而添加?；

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题能够满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

第三条特征是关键，是否能利用分治法全然取决于问题是否具有第三条特征，假设具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则能够考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率，假设各子问题是不独立的则分治法要做很多不必要的工作，反复地解公共的子问题，此时尽管可用分治法，但一般用动态规划法较好。

四、基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

1分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式同样的子问题；

2解决：若子问题规模较小而easy被解决则直接解，否则递归地解各个子问题

3合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式例如以下：

Divide-and-Conquer(P)

1.if |P|≤n0

2.then return(ADHOC(P))

3.将P分解为较小的子问题P1,P2
,...,Pk

4.for i←1 to k

5.do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi

6.T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题

7.return(T)

当中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已easy直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1,P2
,...,Pk的对应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。

五、分治法的复杂性分析

一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：

T（n）=k
T(n/m)+f(n)

通过迭代法求得方程的解：

递归方程及其解仅仅给出n等于m的方幂时T(n)的值，可是假设觉得T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值能够预计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当         mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)

六、根据分治法设计程序时的思维过程

实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后依据方程公式设计递归程序。

1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法

2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法

3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序就可以。

七 分治法解决汉诺塔问题事例

对于n个盘子的汉诺塔问题，总有3根柱子，当前全部n个盘子都在柱子a上，那么怎样通过柱子b将全部盘子挪到柱子c上？

对于n＝1，好吧，从a到c没有问题；

假设n>1，能够考虑为a有两个盘子一个是最以下的盘子，一个是上面的n-1个盘子（n-1个盘子看作一个总体），那么问题就是首先将n-1个盘子挪到b柱子上，然后把最以下的盘子放到c柱子上；

剩下的问题就是怎样将n-1个盘子由b挪到c上。

非常明显，我们採用数学归纳法找到了解决方式。

代码1 汉诺塔实现代码

using System;

namespace hannoi
{
	class MainClass
	{
		public static void Main (string[] args)
		{
			hannoi (4, ‘a‘, ‘b‘, ‘c‘);
		}

		/// <summary>
		/// n个盘，由a经由b放置在c
		/// </summary>
		/// <param name="n">盘子总数</param>
		/// <param name="a">n个盘子当前所在的柱子.</param>
		/// <param name="b">可中转的柱子.</param>
		/// <param name="c">n个盘子终于要放置的柱子.</param>
		static void hannoi(int n, char a, char b, char c)
		{
			//仅仅剩下一个盘子，那就由a直接到c
			if (n == 1) {
				Console.WriteLine (a.ToString() + "->" + c.ToString());
				return;
			}

			//递归n－1个盘子，由a放置到b
			hannoi (n - 1, a, c, b);
			//a上剩下的一个盘子，由a拿到c，输出出来
			Console.WriteLine (a.ToString() + "->" + c.ToString());
			//b上有n-1个盘子，将这n-1个盘子递归放到c上
			hannoi (n - 1, b, a, c);
		}
	}

}

执行结果：

八 经常使用的分治法算法

（1）二分搜索

（2）大整数乘法

（3）Strassen矩阵乘法

（4）棋盘覆盖

（5）合并排序

（6）高速排序

（7）线性时间选择

（8）最接近点对问题

（9）循环赛日程表

（10）汉诺塔

注：參考文章：http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741370.html