poj 3744 概率dp+矩阵快速幂

题意：在一条布满地雷的路上，你现在的起点在1处。在N个点处布有地雷，1<=N<=10。地雷点的坐标范围：[1,100000000].

每次前进p的概率前进一步，1-p的概率前进1-p步。问顺利通过这条路的概率。就是不要走到有地雷的地方。

设dp[i]表示到达i点的概率，则 初始值 dp[1]=1.

很容易想到转移方程： dp[i]=p*dp[i-1]+(1-p)*dp[i-2];

但是由于坐标的范围很大，直接这样求是不行的，而且当中的某些点还存在地雷。

N个有地雷的点的坐标为 x[1],x[2],x[3]```````x[N].

我们把道路分成N段：

1~x[1];

x[1]+1~x[2];

x[2]+1~x[3];

`

x[N-1]+1~x[N].

转移矩阵：
  dp[i]    | p ,1-p  |    dp[i-1]
            =|            |*
dp[i-1]   | 1 , 0    |   dp[i-2]

这样每一段只有一个地雷。我们只要求得通过每一段的概率。乘法原理相乘就是答案。

对于每一段，通过该段的概率等于1-踩到该段终点的地雷的概率。

就比如第一段 1~x[1].  通过该段其实就相当于是到达x[1]+1点。那么p[x[1]+1]=1-p[x[1]].

但是这个前提是p[1]=1,即起点的概率等于1.对于后面的段我们也是一样的假设，这样就乘起来就是答案了。

对于每一段的概率的求法可以通过矩阵乘法快速求出来。

 1 /*
 2 POJ 3744
 3
 4 C++  0ms 184K
 5 */
 6 #include<stdio.h>
 7 #include<string.h>
 8 #include<algorithm>
 9 #include<iostream>
10 #include<math.h>
11 using namespace std;
12
13 struct Matrix
14 {
15     double mat[2][2];
16 };
17 Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
18 {
19     Matrix ret;
20     for(int i=0;i<2;i++)
21       for(int j=0;j<2;j++)
22       {
23           ret.mat[i][j]=0;
24           for(int k=0;k<2;k++)
25             ret.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
26       }
27     return ret;
28 }
29 Matrix pow_M(Matrix a,int n)
30 {
31     Matrix ret;
32     memset(ret.mat,0,sizeof(ret.mat));
33     for(int i=0;i<2;i++)ret.mat[i][i]=1;
34     Matrix temp=a;
35     while(n)
36     {
37         if(n&1)ret=mul(ret,temp);
38         temp=mul(temp,temp);
39         n>>=1;
40     }
41     return ret;
42 }
43
44 int x[30];
45 int main()
46 {
47     int n;
48     double p;
49     while(scanf("%d%lf",&n,&p)!=EOF)//POJ上G++要改为cin输入
50     {
51         for(int i=0;i<n;i++)
52           scanf("%d",&x[i]);
53         sort(x,x+n);
54         double ans=1;
55         Matrix tt;
56         tt.mat[0][0]=p;
57         tt.mat[0][1]=1-p;
58         tt.mat[1][0]=1;
59         tt.mat[1][1]=0;
60         Matrix temp;
61
62         temp=pow_M(tt,x[0]-1);
63         ans*=(1-temp.mat[0][0]);
64
65         for(int i=1;i<n;i++)
66         {
67             if(x[i]==x[i-1])continue;
68             temp=pow_M(tt,x[i]-x[i-1]-1);
69             ans*=(1-temp.mat[0][0]);
70         }
71         printf("%.7lf\n",ans);//POJ上G++要改为%.7f
72     }
73     return 0;
74 }