【DP】青蛙过河

Description

　　在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

　　题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

Input

　　输入文件river.in的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

Output

　　输出文件river.out只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

Sample Input

102 3 5 2 3 5 6 7

Sample Output

2

Solution　　

　　最简单的dp做法:f[i]=min(f[k])+stone[i],k∈[i-s,i-t],stone[i]表示第i位上是否有石子。

　　然而1*10⁹的范围是不能接受的，因此由m<=100入手，可以发现在1*10⁹的道路上是非常稀疏的，那么就可以把石子间距离>=90的距离缩至(a[i+1]-a[i])%90，于是复杂度就降下来，再递推即可。

Code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 int l,L,s,t,m,ans;
 6 int a[100+10],f[9000+100],stone[9000+100];
 7 int main() {
 8
 9     scanf("%d%d%d%d",&l,&s,&t,&m);
10     for(int i=1;i<=m;++i)scanf("%d",&a[i]);
11
12     if(s==t) {
13         for(int i=1;i<=m;++i)
14             if(a[i]%s==0)++ans;
15         printf("%d\n",ans);
16         return 0;
17     }
18
19     sort(a+1,a+m+1);
20     a[m+1]=l;
21     for(int i=0;i<=m;++i) {
22         if(a[i+1]-a[i]>90)
23             a[i+1]=a[i]+(a[i+1]-a[i])%90;
24     }
25     for(int i=1;i<=m;++i)
26         stone[a[i]]=1;
27     memset(f,0x3f,sizeof(f));
28     for(int i=s;i<=t;++i)
29         f[i]=(stone[i]==1)?1:0;
30
31     for(int i=s*2;i<=a[m+1];++i)
32         for(int j=s;j<=t;++j) {
33             if(i-j<0)break;
34             f[i]=min(f[i],f[i-j]+stone[i]);
35         }
36
37     printf("%d\n",f[a[m+1]]);
38
39     return 0;
40 }