题目[POI2011]ROT-Tree Rotations
【Description】
现在有一棵二叉树,所有非叶子节点都有两个孩子.在每个叶子节点上有一个权值(有\(n\)个叶子节点,满足这些权值为\(1..n\)的一个排列).可以任意交换每个非叶子节点的左右孩子.
要求进行一系列交换,使得最终所有叶子节点的权值按照中序遍历写出来,逆序对个数最少.
【Input Format】
第一行一个整数\(n\).
下面每行,一个数\(x\).
如果\(x =0\),表示这个节点非叶子节点,递归地向下读入其左孩子和右孩子的信息.
如果\(x\ne 0\),表示这个节点是叶子节点,权值为\(x\).
【Output Format】
一行,最少逆序对个数.
【Sample Input】
3
0
0
3
1
2【Sample Output】
1【Hint】
对于$ 30%$的数据：\(2<=n<=5000\)
对于\(100\%\)的数据：\(2<=n<=200000\)
思路
首先需要明确的是,我们可以分层对逆序对进行计算.对于一个非叶子节点,我们可以先只计算它左子树与右子树中的叶结点形成的逆序对,至于它的某一个子树中的叶结点形成的逆序对,我们可以在下一步递归计算.
其次,在上述"分层计算"的思路中,当前层节点左右子树的交换,对向上一层的逆序对计数没有影响.换句话说,对一个节点\(p\),无论\(LC[p]\)(或\(RC[p]\))的两个子树交不交换,在\(LC[p]\)与\(RC[p]\)这一层计算出的逆序对数都是一样的.
到这里,很容易设计出算法:对于每个非叶子节点,计算交换与不交换它的子树这两种情况所产生的逆序对数,取最优值累加答案就可以了.可以考虑通过线段树合并的方式,把子树里叶结点的权值维护在权值线段树中,自底向上合并,利用线段树来求逆序对.
接下来的问题就是如何利用线段树里的数据求出逆序对.考试时我采用的方法是用类似DFS序的序列记录某一棵子树中具体包括了哪些权值,再用\(O(nlogn)\)的权值线段树求逆序对的基本算法求解.实际上,可以直接在将两个(线段树上的)节点合并为一个的时候,累加计算一个(线段树上的)节点小于等于\(mid\)(线段树区间中点)的值的个数与另一个(线段树上的)节点)大于等于\(mid\)的值的个数的乘积,由于在线段树上,值域是被覆盖完全的,所以累加的答案就是(题目中的树)这一层产生的逆序对数.
代码实现比较短,却涉及到对算法的本质的理解.
代码
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define SIZE 400005
#define SEGSIZE 4000005
int n,Root[SIZE],L[SIZE],R[SIZE],weight[SIZE],Totx;
long long P1,P2,ans;
//动态开点权值线段树
struct SegTree
{
#define Mid ((X+Y)>>1)
int sum[SEGSIZE],LC[SEGSIZE],RC[SEGSIZE],P;
void change(int &x,int pos,int X,int Y)
{
if(x==0)x=++P;
sum[x]++;
if(X==Y)return;
if(Mid>=pos)change(LC[x],pos,X,Mid);
else change(RC[x],pos,Mid+1,Y);
}
int Merge(int u,int v,int X,int Y)
{
if(u==0||v==0)return u?u:v;
P1+=(long long)sum[RC[u]]*sum[LC[v]];
P2+=(long long)sum[LC[u]]*sum[RC[v]];
sum[u]=sum[u]+sum[v];
LC[u]=Merge(LC[u],LC[v],X,Mid);
RC[u]=Merge(RC[u],RC[v],Mid+1,Y);
return u;
}
}T;
//递归建图
int Read()
{
int x,u=++Totx;
scanf("%d",&x);
if(x>0)weight[u]=x;
else{ L[u]=Read(); R[u]=Read(); }
return u;
}
//深搜 自底向上合并
void DFS(int u)
{
if(weight[u])T.change(Root[u],weight[u],1,n);
else
{
DFS(L[u]);
DFS(R[u]);
P1=0,P2=0;
Root[u]=T.Merge(Root[u],Root[L[u]],1,n);
Root[u]=T.Merge(Root[u],Root[R[u]],1,n);
ans+=min(P1,P2);
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
Read();
DFS(1);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
附录
考场代码(\(TLE\))
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define SIZE 400005
#define SEGSIZE 8000005
int n,Root[SIZE],weight[SIZE],L[SIZE],R[SIZE],ans;
//动态开点权值线段树
struct SegTree
{
#define Mid ((X+Y)>>1)
int sum[SEGSIZE],LC[SEGSIZE],RC[SEGSIZE],P;
int query(int x,int L,int R,int X,int Y)
{
if(x==0||Y<L||X>R)return 0;
if(X>=L&&Y<=R)return sum[x];
return query(LC[x],L,R,X,Mid)+query(RC[x],L,R,Mid+1,Y);
}
void change(int &x,int pos,int X,int Y,int v)
{
if(x==0)x=++P;
sum[x]+=v;
if(X==Y)return;
if(Mid>=pos)change(LC[x],pos,X,Mid,v);
else change(RC[x],pos,Mid+1,Y,v);
}
int Merge(int u,int v,int X,int Y)
{
if(u==0||v==0)return u?u:v;
int x=++P;
sum[x]=sum[u]+sum[v];
LC[x]=Merge(LC[u],LC[v],X,Mid);
RC[x]=Merge(RC[u],RC[v],Mid+1,Y);
return x;
}
}T;
//递归建图 求DFS序
int Totx=0,DFx[SIZE],DFx_C,Lx[SIZE],Rx[SIZE];
int Read()
{
int x,u=++Totx;
scanf("%d",&x);
Lx[u]=DFx_C+1;
if(x>0){ weight[u]=x; DFx[++DFx_C]=x; }
if(x==0){ L[u]=Read(); R[u]=Read(); }
Rx[u]=DFx_C;
return u;
}
//深搜 自底向上合并
void DFS(int u)
{
if(weight[u])T.change(Root[u],weight[u],1,n,1);
else
{
DFS(L[u]);
DFS(R[u]);
int P1=0,P2=0;
for(int i=Lx[L[u]];i<=Rx[L[u]];i++)
P1+=T.query(Root[R[u]],1,DFx[i],1,n);//O(nlogn)计算逆序对
for(int i=Lx[R[u]];i<=Rx[R[u]];i++)
P2+=T.query(Root[L[u]],1,DFx[i],1,n);
ans+=min(P1,P2);
Root[u]=T.Merge(Root[u],Root[L[u]],1,n);
Root[u]=T.Merge(Root[u],Root[R[u]],1,n);
}
}
int main()
{
freopen("tree.in","r",stdin);
freopen("tree.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
Read();
DFS(1);
printf("%d\n",ans);
return 0;
} 原文地址：https://www.cnblogs.com/TaylorSwift13/p/11178388.html