数学/hdu 1013 Digital Roots

题意

　　求一个数的数根，即各位数之和，再之和，直到为个位数

分析

首先，要知道这样一个结论：

　　　　任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和

　　具体证明过程如下：

　　设自然数N=a[n]a[n-1]…a[0]，其中a[0]，a[1]、…、a[n]分别是个位、十位、…上的数字

　　再设M=a[0]+a[1]+…+a[n]

　　求证：N≡M(mod 9).

　证明：
 　　  ∵ N=a[n]a[n-1]…a[0]=a[n]*10^n+a[n-1]*10^(n-1)+…+a[1]*10+a[0].
 　　 又∵ 1≡1(mod 9),
     　　 10≡1(mod 9),
   　　   10^2≡1(mod 9),
  　　      … 
 　　     10^n≡1(mod 9).
 　　 上面这些同余式两边分别同乘以a[0]、a[1]、a[2]、…、a[n]，再相加得：
 　　　　 a[0]+a[1]*10+…+a[n]*10^n≡(a[0]+a[1]+…+a[n])(mod 9)，
  　　　　　　　　　　　　　　　　  即 N≡M(mod 9)，得证。

　　有了这个性质就容易解决本题了

　　在计算过程中，可以不断mod 9，因为我们知道有这样两个性质：

　　　　(A+B)mod C = （(A mod C) + (B mod C)）mod C   
　　　　(AB)mod C = ((A mod C)×(B mod C)) mod C

　还要注意，如果余数为0，则输出9

　　注意：存不下 用字符串

　　以上直接复制粘贴的我另一个blog 两年前的了 没想到如今自己又开始做题了

Accepted Code

 1 /*
 2     PROBLEM:hdu1013
 3     AUTHER:Nicole Lam
 4     MEMO:数学
 5 */
 6 #include<iostream>
 7 #include<cstring>
 8 #include<string>
 9 using namespace std;
10 int main()
11 {
12     string s;
13     while (cin>>s && s[0]!=‘0‘)
14     {
15         int sum=0;
16         for (int i=0;i<s.size();i++)
17         {
18             sum+=s[i]-‘0‘;
19             sum=sum%9;
20         }
21         if (sum==0) sum=9;
22         cout<<sum<<endl;
23     }
24     return 0;
25 }