【算法设计与分析】7、0/1背包问题，动态规划

/**
* 书本:《算法分析与设计》
* 功能:给定n种物品和一个背包，物品i的重量是Wi, 其价值为Vi,问如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大？
* 文件:beiBao.cpp
* 时间:2014年11月30日19:22:47
* 作者:cutter_point
*/

#include <iostream>

#define SIZEBEIBAO 20

using namespace std;

//这个背包问题的最优的子结构是
/*
首先这里一共有m种物品，背包的总容量是W
1、从第n个开始往前面开始计算，初始化第n个
即c[n][j] j是背包的容量，从0开始递增到背包最大的容量w则当j >= w的时候吧第n个的价值加上去就是加上Vn
													   当0 <= j <  w的时候那么低n个不加上去那就是n
2、当考虑第i个的时候i < n，那么就分为
max{ c[i+1][j] , c[i+1][j-Wi]+Vi} 当j >= Wi
就是 m[i+1][j]
*/
//我们用m(i,j)表示为已经判断好了1:i-1的序列的背包最大价值，并且此时的背包剩余的容量为j，对物品i进行判断
//n是个数，w是背包最大容量，c[n, w]是背包在n个物品下背包大小是w的最优价值，v是每个的价值，wi是每个的重量
int beiBao(int n, int w, int c[SIZEBEIBAO][SIZEBEIBAO], int *v, int *wi)
{
	c[SIZEBEIBAO][SIZEBEIBAO] = { 0 };	//初始化所有的值
	//从第n个开始往前面开始计算，初始化第n个
	for (int i = 0; i <= w; ++i)	//容量重0到w的初始化
	{
		if (i >= wi[n])	//和第n个比较那个重量，只要超过了这个重量那么价值都是Vn
		{
			c[n][i] = v[n];
		}
		else
		{
			c[n][i] = 0;	//背包容量达不到，那么最优的价值只能是0
		}
	}

	//这里从第n个开始
	//物品从第n个往回迭代
	/*
	2、当考虑第i个的时候i < n，那么就分为
	max{ c[i+1][j] , c[i+1][j-Wi]+Vi}
	当j >= Wi  c[i+1][j-Wi]+Vi
	否则就是 m[i+1][j]
	*/
	for (int i = n-1; i >= 0; --i)
	{
		for (int j = 0; j <= w; ++j)	//背包容量从小增加到最大
		{
			if (j >= wi[i])	//当重量达到了这个要求的时候
				c[i][j] = c[i + 1][j - wi[i]] + v[i];	//第i个物品加入背包的时候得到的价值
			else
				c[i][j] = c[i + 1][j];	//当第i个不加如背包的时候
		}
	}

	//最终的最优解就是
	return c[1][w];

	/*
	//当物品的数量从1到n的时候
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		c[i][0] = 0;	//对应的0容量的背包的价值最优肯定是0
		//不同的重量就会有不同的背包最优价值
		for (int wx = 1; wx <= w; ++wx)
		{
			//当对应的重量在增加的时候
			//这里要判断这个重量是否比背包可以装的容量大,这里物品的数量i的时候
			if (wi[i] > wx)
				c[i][wx] = c[i - 1][wx];	//2、当Wi > W的时候，第i个的总量>总重量的时候 c[n, w]=c[n-1, w]
			else //3、当n > 0且 Wi <= w的时候 c[n, w]=MAX{ c[n-1, w], c[n-1, w-Wi]+vi }
			{
				//比较这两个中最大的那个
				int temp = c[i - 1][wx - wi[i]] + v[i];

				if (c[i - 1][wx] > temp)
					c[i][wx] = c[i - 1][wx];
				else
					c[i][wx] = temp;
			}
		}
	}
	*/
}

//得到背包问题的向量解
void qiux(int c[SIZEBEIBAO][SIZEBEIBAO], int *x, int *wi, int w, int n)
{
	for (int i = 1; i < n; ++i)	//从一个物品到 n个物品
	{
		if (c[i][w] == c[i + 1][w])
			x[i] = 0;	//如果加了下一个物品但是最优值没变，说明前面那个没有加入到里面
		else
		{
			x[i] = 1;	//如果加了一个物品价值变了，那么说明这个新的物品可以添加到背包里面去
			//加入后占用了质量
			w -= wi[i];
		}
	}

	//最后一个物品是否装入看c[n][w]的最后剩余的w是否还够装，由于最后一个c[i][w] == c[i + 1][w]无法判断
	x[n] = (c[n][w]) ? 1 : 0;
}

int main()
{
	int wi[4] = {0, 4, 3, 2};
	int v[4] = { 0, 5, 2, 1 };
	int n = 3, w = 6;
	int c[SIZEBEIBAO][SIZEBEIBAO] = { 0 };
	int x[SIZEBEIBAO] = { 0 };

	cout << "求得最优的价值是：" << endl;
	cout << beiBao(n, w, c, v, wi);

	cout << "则向量x是：" << endl;
	qiux(c, x, wi, w, n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		cout << x[i] << " ";
	cout << endl;

	return 0;
}