钢条切割（动态规划）

算法导论第15章：

假设公司出售一段长度为i英寸的钢条的价格为Pi（i = 1, 2, ...单位：美元），下面给出了价格表样例：

长度i     1     2     3

4  5   6     7  8   9  10

价格Pi  1     5     8

9  10   17   17  20   24  30

切割钢条的问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表Pi，求切割方案，使得销售收益Rn最大。

当然，如果长度为n英寸的钢条价格Pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

对于上述价格表样例，我们可以观察所有最优收益值Ri及对应的最优解方案：

R1 = 1，切割方案1 = 1（无切割）

R2 = 5，切割方案2 = 2（无切割）

R3 = 8， 切割方案3 = 3（无切割）

R4 = 10， 切割方案4 = 2 + 2

R5 = 13， 切割方案5 = 2 + 3

R6 = 17， 切割方案6 = 6（无切割）

R7 = 18， 切割方案7 = 1 + 6或7 = 2 + 2 + 3

R8 = 22， 切割方案8 = 2 + 6

R9 = 25， 切割方案9 = 3 + 6

R10 = 30，切割方案10 = 10（无切割）

更一般地，对于Rn（n >= 1），我们可以用更短的钢条的最优切割收益来描述它：

Rn = max(Pn, R1 + Rn-1, R2 + Rn-2,...,Rn-1 + R1)

首先将钢条切割为长度为i和n - i两段，接着求解这两段的最优切割收益Ri和Rn - i

（每种方案的最优收益为两段的最优收益之和），由于无法预知哪种方案会获得最优收益，

我们必须考察所有可能的i，选取其中收益最大者。如果直接出售原钢条会获得最大收益，

我们当然可以选择不做任何切割。

分析到这里，假设现在出售8英寸的钢条，应该怎么切割呢？

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 #define INF (1<<30)
 4 const int  N=10000;
 5 int r[N];
 6 int p[11]= {0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};
 7 int max(int a,int b)
 8 {
 9 if(a>b)return a;
10 else return b;
11 }
12 int get(int n)
13 {
14     r[0]=0;
15     for(int j=1;j<=n;j++)
16     {
17         int q=-INF;
18         for(int i=1;i<=j;i++)
19         {
20         q=max(q,p[i]+r[j-i]);
21         }
22         r[j]=q;
23     }
24 return r[n];
25 }
26 int main()
27 {
28     int n;
29 while(cin>>n)
30 cout<<get(n)<<endl;
31
32 }