机器学习中梯度下降（Gradient Descent， GD）算法只需要计算损失函数的一阶导数，计算代价小，非常适合训练数据非常大的应用。
梯度下降法的物理意义很好理解，就是沿着当前点的梯度方向进行线搜索，找到下一个迭代点。但是，为什么有会派生出 batch、mini-batch、online这些GD算法呢？
原来，batch、mini-batch、SGD、online的区别在于训练数据的选择上：
| batch | mini-batch | Stochastic | Online | |
| 训练集 | 固定 | 固定 | 固定 | 实时更新 |
| 单次迭代样本数 | 整个训练集 | 训练集的子集 | 单个样本 | 根据具体算法定 |
| 算法复杂度 | 高 | 一般 | 低 | 低 |
| 时效性 | 低 | 一般（delta 模型） | 一般（delta 模型） | 高 |
1. batch GD
每次迭代的梯度方向计算由所有训练样本共同投票决定，
batch GD的损失函数是：
\[J(\theta ) = \frac{1}{{2m}}\sum\limits_{i = 1}^m {{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}^2}} \]
训练算法为：
\[\begin{array}{l}
repeate\{ \\
\theta : = \theta - \alpha \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m ( {h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})x_j^{(i)}\\
\}
\end{array}\]
什么意思呢，batch GD算法是计算损失函数在整个训练集上的梯度方向，沿着该方向搜寻下一个迭代点。”batch“的含义是训练集中所有样本参与每一轮迭代。
2. mini-batch GD
batch GD每一轮迭代需要所有样本参与，对于大规模的机器学习应用，经常有billion级别的训练集，计算复杂度非常高。因此，有学者就提出，反正训练集只是数据分布的一个采样集合，我们能不能在每次迭代只利用部分训练集样本呢？这就是mini-batch算法。
假设训练集有m个样本，每个mini-batch（训练集的一个子集）有b个样本，那么，整个训练集可以分成m/b个mini-batch。我们用\(\omega \)表示一个mini-batch, 用\({\Omega _j}\)表示第j轮迭代中所有mini-batch集合，有：
\[\Omega = \{ {\omega _k}:k = 1,2...m/b\} \]
那么， mini-batch GD算法流程如下：
\[\begin{array}{l}
repeate\{ \\
{\rm{ }}repeate\{ \\
{\rm{ for each }}{\omega _k}{\rm{ in }}\Omega :\\
{\rm{ }}\theta : = \theta - \alpha \frac{1}{b}\sum\limits_{i = 1}^b ( {h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}}){x^{(i)}}\\
{\rm{ }}\} for(k = 1,2...m/b)\\
\}
\end{array}\]
3. Stochastic GD （SGD）
随机梯度下降算法（SGD）是mini-batch GD的一个特殊应用。SGD等价于b=1的mini-batch GD。即，每个mini-batch中只有一个训练样本。
4. Online GD
随着互联网行业的蓬勃发展，数据变得越来越“廉价”。很多应用有实时的，不间断的训练数据产生。在线学习（Online Learning）算法就是充分利用实时数据的一个训练算法。
Online GD于mini-batch GD/SGD的区别在于，所有训练数据只用一次，然后丢弃。这样做的好处是可以最终模型的变化趋势。比如搜索广告的点击率(CTR)预估模型，网民的点击行为会随着时间改变。用batch算法（每天更新一次）一方面耗时较长（需要对所有历史数据重新训练）；另一方面，无法及时反馈用户的点击行为迁移。而Online Leaning的算法可以实时的最终网民的点击行为迁移。
Ref：
1. http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent