高维傅里叶变换的移位定理

在一维傅里叶变换的移位定理时，有

$f(t) \quad \leftrightarrow \quad F(s)$

$f(t-b) \quad \leftrightarrow \quad e^{-2\pi isb}F(s)$

在二维傅里叶变换的移位定理时，有两个变量，可分别对它们进行移位，

$f(x_1,x_2) \quad \leftrightarrow \quad F(\xi_1,\xi_2)$

$f(x_1-b_1,x_2-b_2) \quad \leftrightarrow \quad ?$

二维的移位对应的傅里叶变换是什么呢？下面进行计算

$\begin{align*}
&\quad \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(x_1\xi_1+x_2\xi_2)}f(x_1-b_1,x_2-b_2)dx_1dx_2\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i((u_1+b_1)\xi_1+(u_2+b_2)\xi_2)}f(u_1,u_2)du_1du_2 \qquad letting\ u_1=x_1-b_1,u_2=x_2-b_2\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(b_1\xi_1+b_2\xi_2)}e^{-2\pi i(u_1\xi_1+u_2\xi_2)}f(u_1,u_2)du_1du_2\\
&=e^{-2\pi i(b_1\xi_1+b_2\xi_2)}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(u_1\xi_1+u_2\xi_2)}f(u_1,u_2)du_1du_2\\
&=e^{-2\pi i(b_1\xi_1+b_2\xi_2)}F(\xi_1,\xi_2)
\end{align*}$

即二维移位定理可以表示为

$f(x_1-b_1,x_2-b_2) \quad \leftrightarrow \quad e^{-2\pi i(b_1\xi_1+b_2\xi_2)}F(\xi_1,\xi_2)$

表示成向量形式

$f(\underline{x}) \quad \leftrightarrow \quad F(\underline{\xi})$

$f(\underline{x}-\underline{b}) \quad \leftrightarrow \quad e^{-2\pi i\underline{\xi}\cdot \underline{b}}F(\underline{\xi})$

这个向量形式也可以推广到n维傅里叶变换的移位定理。

高维傅里叶变换缩放定理

独立变量缩放

在一维傅里叶变换的缩放定理时，有

$f(t) \quad \leftrightarrow \quad F(s)$

$f(at) \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{|a|}F(\frac{s}{a})$

通过这个式子，我们知道时域与频域的缩放是互反的，不可能在时域与频域上同时压缩或同时扩展。

在二维傅里叶变换的缩放定理时，有

$f(x_1,x_2) \quad \leftrightarrow \quad F(\xi_1,\xi_2)$

$f(a_1x_1,a_2x_2) \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{|a_1||a_2|}F\left(\frac{\xi_1}{a_1},\frac{\xi_2}{a_2}\right)$

在二维傅里叶变换的公式中通过变量替换就能得到上述结果，这里不进行具体的推导。

混合变量缩放（矩阵乘法）

不过缩放并不限于$x_1\rightarrow a_1x_1,x_2\rightarrow a_2x_2$这种各个变量独立缩放的形式，更一般的情况会表示为矩阵的乘法，即

$\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
a &b \\
c &d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
ax_1+bx_2\\
cx_1+dx_2
\end{bmatrix}$

这种缩放也可以推广到n维傅里叶变换。

用向量形式来表示

$\underline{x}\rightarrow A\underline{x}$

$f(\underline{x}) \rightarrow f(A\underline{x})$

需要注意的是，这里的矩阵$A$是非奇异的，即不能使得$\underline{x}$降阶（不能消去$\underline{x}$中的某一项）.

它的傅里叶变换为

$\begin{align*}
\mathcal{F}(f(A\underline{x}))
&=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i(\underline{x}\cdot\underline{\xi})}f(A\underline{x})d\underline{x}\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i(A^{-1}\underline{u}\cdot\underline{\xi})}f(\underline{u})d(A^{-1}\underline{u}) \qquad letting\ \underline{u}=A\underline{x}\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i(\underline{u}\cdot (A^{-1})^T\underline{\xi})}f(\underline{u})\frac{1}{|detA|}d\underline{u} \qquad please\ review\ linear\ algebra\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i(\underline{u}\cdot A^{-T}\underline{\xi})}f(\underline{u})\frac{1}{|detA|}d\underline{u} \qquad letting\ A^{-T}=(A^{-1})^T\\
&=\frac{1}{|detA|}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i(\underline{u}\cdot A^{-T}\underline{\xi})}f(\underline{u})d\underline{u}\\
&=\frac{1}{|detA|}\mathcal{F}f(A^{-T}\underline{\xi})
\end{align*}$

即

$f(\underline{x}) \quad \leftrightarrow \quad F(\underline{\xi})$

$f(A\underline{x}) \quad \leftrightarrow\quad \frac{1}{|detA|}F(A^{-T}\underline{\xi})$

在一维傅里叶变换的缩放定理时，只有一个变量，因此我们用倒数就能表达出时域与频域间的缩放关系，但是在高维傅里叶变换，有多个变量，因此缩放就变得更为自由，我们为了表示高维的缩放引入了矩阵，傅里叶的缩放关系也从倒数变成了矩阵的逆转置$A^{-T}$。

下面是关于高维傅里叶缩放定理的两个例子

例一

我们前面所说到的独立变量的缩放

$f(a_1x_1,a_2x_2) = f(A\underline{x})$

其中$A=\begin{bmatrix}a_1 &0 \\ 0 &a_2 \end{bmatrix}$

$f(A\underline{x})\quad \leftrightarrow\quad \frac{1}{|detA|}F(A^{-T}\underline{\xi}) = \frac{1}{|a_1a_2-0|}F\left(\begin{bmatrix}\frac{1}{a_1} &0 \\ 0 &\frac{1}{a_2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi_1 \\ \xi_2 \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{|a_1||a_2|}F\left(\frac{\xi_1}{a_1},\frac{\xi_2}{a_2}\right)$

例二

矩阵为$A=\begin{bmatrix}
cos\theta &-sin\theta \\
sin\theta &cos\theta
\end{bmatrix}$，那么$A\underline{x}=\begin{bmatrix}x_1cos\theta-x_2sin\theta \\ x_1sin\theta+x_2cos\theta \end{bmatrix}$

假设原始的变量为$(x_1,x_2)$，用矩阵$A$进行缩放后的变量为$(x_1‘,x_2‘)$，引入极坐标系，他们间有如下关系

$x_1=rcos\varphi \qquad x_2=rsin\varphi$

$\begin{align*}
x_1‘&=x_1cos\theta-x_2sin\theta\\
&=rcos\varphi cos\theta-rsin\varphi sin\theta\\
&=rcos(\varphi+\theta)
\end{align*}$
$\begin{align*}
x_2‘&=x_1sin\theta+x_2cos\theta\\
&=rcos\varphi sin\theta+rsin\varphi cos\theta\\
&=rsin(\varphi+\theta)
\end{align*}$

那么这个矩阵就代表了$f(x_1,x_2)$在空域的$x_1,x_2$平面上进行了角度为$\theta$的旋转。

它的傅里叶变换为

$\begin{align*}
&\quad \frac{1}{|detA|}F(A^{-T}\underline{\xi})\\
&=\frac{1}{|cos\theta cos\theta-(-sin\theta)sin\theta|}F((A^{-1})^T\underline{\xi})\\
&=F((A^T)^T\underline{\xi}) \qquad AA^T=\begin{bmatrix}cos\theta &-sin\theta\\ sin\theta &cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix}cos\theta &sin\theta\\ -sin\theta &cos\theta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0 &1 \end{bmatrix}=I \ \Rightarrow A^{T}=A^{-1} \\
&=F(A\underline{\xi})
\end{align*}$

即，当$A=\begin{bmatrix}
cos\theta &-sin\theta \\
sin\theta &cos\theta
\end{bmatrix}$，有

$f(A\underline{x}) \quad \leftrightarrow \quad F(A\underline{\xi})$

这表明空间坐标系旋转对应着频率坐标系的相同角度的旋转。

从二维图像上去思考的话，$f(A\underline{x})$相当于一幅被旋转了的图像，$F(A\underline{\xi})$就是该图像的频谱进行了相应的旋转而已，并没有本质上的改变。

高维$\delta$函数

高维$\delta$函数与一维的$\delta$函数有着相同性质

$<\delta,\varphi> = \varphi(\underline{0}) = \varphi(\underbrace{0,0,…,0}_n)$

移位的脉冲函数$\delta_{\underline{b}} = \delta(\underline{x}-\underline{b})$

$<\delta_{\underline{b}},\varphi> = \varphi(\underline{b}) = \varphi(b_1,b_2,…,b_n)$

傅里叶变换

$\mathcal{F}\delta = 1$

$\mathcal{F}\delta_{\underline{b}} = e^{-2\pi i(\underline{b}\cdot \underline{\xi})}$

$\delta$的取样特性

$f\delta = f(\underline{0})\delta$

$f\delta_{\underline{b}} = f(\underline{b})\delta_{\underline{b}}$

$\delta$的缩放特性

我们以前讲过一维的情况

一维：

$\delta(ax) = \frac{1}{|a|}\delta(x)$

n维：

$\delta(A\underline{x}) = \frac{1}{|detA|}\delta(\underline{x})$