nyist oj 311 完全背包 （动态规划经典题）

完全背包

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难度：4

描述

直接说题意，完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。本题要求是背包恰好装满背包时，求出最大价值总和是多少。如果不能恰好装满背包，输出NO

输入

第一行： N 表示有多少组测试数据（N<7）。

接下来每组测试数据的第一行有两个整数M，V。 M表示物品种类的数目，V表示背包的总容量。(0<M<=2000，0<V<=50000)

接下来的M行每行有两个整数c，w分别表示每种物品的重量和价值(0<c<100000，0<w<100000)

输出

对应每组测试数据输出结果（如果能恰好装满背包，输出装满背包时背包内物品的最大价值总和。 如果不能恰好装满背包，输出NO）

样例输入

2
1 5
2 2
2 5
2 2
5 1

样例输出

NO
1

上传者

ACM_赵铭浩

动态规划经典题；也有几种思路，最优的思路把01背包问题的第二重循环的顺序改一下，就得到了完全背包的最优解法；

这个算法使用一维数组，先看伪代码：(引用的背包9讲里面的内容）

for i=1..N

    for v=0..V

        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

你会发现，这个伪代码与01背包的伪代码只有v的循环次序不同而已。 为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么P01中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1] [v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的 子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

值得一提的是，上面的伪代码中两层for循环的次序可以颠倒。这个结论有可能会带来算法时间常数上的优化。

这个算法也可以以另外的思路得出。例如，将基本思路中求解f[i][v-c[i]]的状态转移方程显式地写出来，代入原方程中，会发现该方程可以等价地变形成这种形式：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}

将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。

下面是实现的代码；动态规划的代码都很简单，最重要的是掌握其中的状态转移方程：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define max(a,b) a>b?a:b
const int maxn=50001;
int dp[maxn];
int main()
{
    int n,m,v,i,j,c,w;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
      memset(dp,-10000,sizeof(dp));//这里也要注意，在01背包中初始化给的是0，这里要初始化一个比较大的负数
      dp[0]=0;//这里也要注意，没有这个就会wa
      scanf("%d%d",&m,&v);
      for(i=1;i<=m;i++)
      {
          scanf("%d%d",&c,&w);
          for(j=c;j<=v;j++)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-c]+w);//状态转移方程也和01背包一致
      }
      if(dp[v]<0) printf("NO\n");
       else  printf("%d\n",dp[v]);
    }
    return 0;
}

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