polyfit
多项式曲线拟合
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语法
p = polyfit(x,y,n)
[p,S] = polyfit(x,y,n)
[p,S,mu] = polyfit(x,y,n)
说明
p = polyfit(x,y,n)n 的多项式 p(x) 的系数，该阶数是 y 中数据的最佳拟合（在最小二乘方式中）。p 中的系数按降幂排列，p 的长度为 n+1
p(x)=p1xn+p2xn−1+...+pnx+pn+1.
[ 还返回一个结构体 p,S] = polyfit(x,y,n)S，后者可用作 polyval 的输入来获取误差估计值。
[ 还返回 p,S,mu] = polyfit(x,y,n)mu，后者是一个二元素向量，包含中心化值和缩放值。mu(1) 是 mean(x)，mu(2) 是 std(x)。使用这些值时，polyfit 将 x 的中心置于零值处并缩放为具有单位标准差
ˆx=x−‾xσx .
这种中心化和缩放变换可同时改善多项式和拟合算法的数值属性。
示例
将多项式与三角函数拟合
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在区间 [0,4*pi] 中沿正弦曲线生成 10 个等间距的点。
x = linspace(0,4*pi,10); y = sin(x);
使用 polyfit 将一个 7 次多项式与这些点拟合。
p = polyfit(x,y,7);
在更精细的网格上计算多项式并绘制结果图。
x1 = linspace(0,4*pi); y1 = polyval(p,x1); figure plot(x,y,‘o‘) hold on plot(x1,y1) hold off
将多项式与点集拟合
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创建一个由区间 [0,1] 中的 5 个等间距点组成的向量，并计算这些点处的 
。
x = linspace(0,1,5); y = 1./(1+x);
将 4 次多项式与 5 个点拟合。通常，对于 n 个点，可以拟合 n-1 次多项式以便完全通过这些点。
p = polyfit(x,y,4);
在由 0 和 2 之间的点组成的更精细网格上计算原始函数和多项式拟合。
x1 = linspace(0,2); y1 = 1./(1+x1); f1 = polyval(p,x1);
在更大的区间 [0,2] 中绘制函数值和多项式拟合，其中包含用于获取以圆形突出显示的多项式拟合的点。多项式拟合在原始 [0,1] 区间中的效果较好，但在该区间外部很快与拟合函数出现差异。
figure plot(x,y,‘o‘) hold on plot(x1,y1) plot(x1,f1,‘r--‘) legend(‘y‘,‘y1‘,‘f1‘)
对误差函数进行多项式拟合
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首先生成 x 点的向量，在区间 [0,2.5] 内等间距分布；然后计算这些点处的 erf(x)。
x = (0:0.1:2.5)‘; y = erf(x);
确定 6 阶逼近多项式的系数。
p = polyfit(x,y,6)
p = 1×7
0.0084 -0.0983 0.4217 -0.7435 0.1471 1.1064 0.0004
为了查看拟合情况如何，在各数据点处计算多项式，并生成说明数据、拟合和误差的一个表。
f = polyval(p,x);
T = table(x,y,f,y-f,‘VariableNames‘,{‘X‘,‘Y‘,‘Fit‘,‘FitError‘})
T=26×4 table
X Y Fit FitError
___ _______ __________ ___________
0 0 0.00044117 -0.00044117
0.1 0.11246 0.11185 0.00060836
0.2 0.2227 0.22231 0.00039189
0.3 0.32863 0.32872 -9.7429e-05
0.4 0.42839 0.4288 -0.00040661
0.5 0.5205 0.52093 -0.00042568
0.6 0.60386 0.60408 -0.00022824
0.7 0.6778 0.67775 4.6383e-05
0.8 0.7421 0.74183 0.00026992
0.9 0.79691 0.79654 0.00036515
1 0.8427 0.84238 0.0003164
1.1 0.88021 0.88005 0.00015948
1.2 0.91031 0.91035 -3.9919e-05
1.3 0.93401 0.93422 -0.000211
1.4 0.95229 0.95258 -0.00029933
1.5 0.96611 0.96639 -0.00028097
?
在该区间中，插值与实际值非常符合。创建一个绘图，以显示在该区间以外，外插值与实际数据值如何快速偏离。
x1 = (0:0.1:5)‘; y1 = erf(x1); f1 = polyval(p,x1); figure plot(x,y,‘o‘) hold on plot(x1,y1,‘-‘) plot(x1,f1,‘r--‘) axis([0 5 0 2]) hold off
使用中心化和缩放改善数值属性
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创建一个由 1750 - 2000 年的人口数据组成的表，并绘制数据点。
year = (1750:25:2000)‘; pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]‘; T = table(year, pop)
T=11×2 table
year pop
____ _________
1750 7.91e+08
1775 8.56e+08
1800 9.78e+08
1825 1.05e+09
1850 1.262e+09
1875 1.544e+09
1900 1.65e+09
1925 2.532e+09
1950 6.122e+09
1975 8.17e+09
2000 1.156e+10
plot(year,pop,‘o‘)
使用带三个输入的 polyfit 拟合一个使用中心化和缩放的 5 次多项式，这将改善问题的数值属性。polyfit 将 year 中的数据以 0 为进行中心化，并缩放为具有标准差 1，这可避免在拟合计算中出现病态的 Vandermonde 矩阵。
[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);
使用带四个输入的 polyval，根据缩放后的年份 (year-mu(1))/mu(2) 计算 p。绘制结果对原始年份的图。
f = polyval(p,year,[],mu); hold on plot(year,f) hold off
简单线性回归
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将一个简单线性回归模型与一组离散二维数据点拟合。
创建几个由样本数据点 (x,y) 组成的向量。将一个一阶多项式与这些数据拟合。
x = 1:50; y = -0.3*x + 2*randn(1,50); p = polyfit(x,y,1);
计算在 x 中的点处拟合的多项式 p。用这些数据绘制得到的线性回归模型。
f = polyval(p,x); plot(x,y,‘o‘,x,f,‘-‘) legend(‘data‘,‘linear fit‘)
具有误差估计值的线性回归
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将一个线性模型拟合到一组数据点并绘制结果，其中包含预测区间为 95% 的估计值。
创建几个由样本数据点 (x,y) 组成的向量。使用 polyfit 对数据进行一阶多项式拟合。指定两个输出以返回线性拟合的系数以及误差估计结构体。
x = 1:100; y = -0.3*x + 2*randn(1,100); [p,S] = polyfit(x,y,1);
计算以 p 为系数的一阶多项式在 x 中各点处的拟合值。将误差估计结构体指定为第三个输入，以便 polyval 计算标准误差的估计值。标准误差估计值在 delta 中返回。
[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);
绘制原始数据、线性拟合和 95% 预测区间 
。
plot(x,y,‘bo‘) hold on plot(x,y_fit,‘r-‘) plot(x,y_fit+2*delta,‘m--‘,x,y_fit-2*delta,‘m--‘) title(‘Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval‘) legend(‘Data‘,‘Linear Fit‘,‘95% Prediction Interval‘)
输入参数
x - 查询点
向量
查询点，指定为一个向量。x 中的点对应于 y 中包含的拟合函数值。
x 具有重复（或接近重复）的点或者如果 x 可能需要中心化和缩放时的警告消息结果。
数据类型： single | double
复数支持： 是
y - 查询点位置的拟合值
向量
查询点位置的拟合值，指定为向量。y 中的值对应于 x 中包含的查询点。
数据类型： single | double
复数支持： 是
n - 多项式拟合的阶数
正整数标量
多项式拟合的阶数，指定为正整数标量。n 指定 p 中最左侧系数的多项式幂。
输出参数
p - 最小二乘拟合多项式系数
向量
最小二乘拟合多项式系数，以向量的形式返回。p 的长度为 n+1，包含按降幂排列的多项式系数，最高幂为 n。如果 x 或 y 包含 NaN 值且 n < length(x)，则 p 的所有元素均为 NaN。
使用 polyval 计算 p 在查询点处的解。
S - 误差估计结构体
结构体
误差估计结构体。此可选输出结构体主要用作 polyval 函数的输入，以获取误差估计值。S 包含以下字段：
| 字段 | 说明 |
|---|---|
R |
Vandermonde 矩阵 x 的 QR 分解的三角因子 |
df |
自由度 |
normr |
残差的范数 |
如果 y 中的数据是随机的，则 p 的估计协方差矩阵是 (Rinv*Rinv‘)*normr^2/df，其中 Rinv 是 R 的逆矩阵。
如果 y 中数据的误差呈独立正态分布，并具有常量方差，则 [y,delta] = polyval(...) 可生成至少包含 50% 的预测值的误差边界。即 y ± delta 至少包含 50% 对 x 处的未来观测值的预测值。
mu - 中心化值和缩放值
二元素向量
中心化值和缩放值，以二元素向量形式返回。mu(1) 为 mean(x)，mu(2) 为 std(x)。这些值以单位标准差将 x 中的查询点的中心置于零值处。
使用 mu 作为 polyval 的第四个输入以计算 p 在缩放点 (x - mu(1))/mu(2) 处的解。
局限性
- 在使用许多点的问题中，使用
polyfit增加多项式拟合的阶并不能始终得到较好的拟合。高次多项式可以在数据点之间振动，导致与数据之间的拟合较差。在这些情况下，可使用低次多项式拟合（点之间倾向于更平滑）或不同的方法，具体取决于该问题。 - 多项式在本质上是无边界的振荡函数。所以，它们并不非常适合外插有界的数据或单调（递增或递减）的数据。
算法
polyfit 使用 x 构造具有 n+1 列和 m = length(x) 行的 Vandermonde 矩阵 V 并生成线性方程组
????????xn1xn2?xnmxn−11xn−12?xn−1m????11?1??????????????p1p2?pn+1??????=??????y1y2?ym?????? ,
其中 polyfit 使用 p = V\y 求解。由于 Vandermonde 矩阵中的列是向量 x 的幂，因此条件数 V 对于高阶拟合来说通常较大，生成一个奇异系数矩阵。在这些情况下，中心化和缩放可改善系统的数值属性以产生更可靠的拟合。
原文地址：https://www.cnblogs.com/chenbocheng/p/10844068.html