1592: [Usaco2008 Feb]Making the Grade 路面修整
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Description
FJ打算好好修一下农场中某条凹凸不平的土路。按奶牛们的要求，修好后的路面高度应当单调上升或单调下降，也就是说，高度上升与高度下降的路段不能同时出现在修好的路中。 整条路被分成了N段，N个整数A_1, ... , A_N (1 <= N <= 2,000)依次描述了每一段路的高度(0 <= A_i <= 1,000,000,000)。FJ希望找到一个恰好含N个元素的不上升或不下降序列B_1, ... , B_N，作为修过的路中每个路段的高度。由于将每一段路垫高或挖低一个单位的花费相同，修路的总支出可以表示为： |A_1 - B_1| + |A_2 - B_2| + ... + |A_N - B_N| 请你计算一下，FJ在这项工程上的最小支出是多少。FJ向你保证，这个支出不会超过2^31-1。
Input
* 第1行: 输入1个整数：N * 第2..N+1行: 第i+1行为1个整数：A_i
Output
* 第1行: 输出1个正整数，表示FJ把路修成高度不上升或高度不下降的最小花费
Sample Input
7
1
3
2
4
5
3
9
Sample Output
3
HINT
FJ将第一个高度为3的路段的高度减少为2，将第二个高度为3的路段的高度增加到5，总花费为|2-3|+|5-3| = 3，并且各路段的高度为一个不下降序列 1,2,2,4,5,5,9。
可以发现不管怎么修最后路的长度一定在原来的路中出现过，设$b[i]$表示出现过的长度中排第i的长度
先考虑单调增
设$f[i][j]$表示前$i$段合法且第$i$段的长度为$b[j]$，则$f[i][j]=min(f[i-1][k]+abs(a[i]-b[j])),(k<=j)$，显然可以从$O(n^3)$优化为$O(n^2)$
对于单调减只要$b$数组倒序再DP一次即可
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;
char buf[10000000], *ptr = buf - 1;
inline int readint(){
int n = 0;
char ch = *++ptr;
while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘) ch = *++ptr;
while(ch <= ‘9‘ && ch >= ‘0‘){
n = (n << 1) + (n << 3) + ch - ‘0‘;
ch = *++ptr;
}
return n;
}
const int maxn = 2000 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
int a[maxn], b[maxn], f[maxn][maxn], g[maxn][maxn];
int main(){
fread(buf, sizeof(char), sizeof(buf), stdin);
int n = readint();
for(int i = 1; i <= n; i++)
a[i] = b[i] = readint();
sort(b + 1, b + n + 1);
for(int i = 1; i <= n; i++) f[i][0] = INF;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++){
g[i][j] = f[i - 1][j] + abs(a[i] - b[j]);
f[i][j] = min(f[i][j - 1], g[i][j]);
}
int ans = f[n][n];
sort(b + 1, b + n + 1, greater<int>());
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++){
g[i][j] = f[i - 1][j] + abs(a[i] - b[j]);
f[i][j] = min(f[i][j - 1], g[i][j]);
}
ans = min(ans, f[n][n]);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}