[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Bernstein's inequality)

$$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq \sen{D^k f}_{L^p}\leq C2^{jk} \sen{f}_{L^p}; \eex$$ $$\bex \supp \hat u\subset \sed{|\xi|\leq 2^j} \ra \sen{f}_{L^q}\leq C2^{jn\sex{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}} \sen{f}_{L^p}\quad\sex{1\leq p\leq q\leq \infty}. \eex$$ see [D. Chae, J. Lee, On the blow-up criterion and small data global existence for the Hall-magnetohydrodynamics, J. Differential Equations, 256 (2014), 3835--3858].

时间： 2024-10-08 15:23:58

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(1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &\quad s>0,\ q\in [1,\infty],\quad p_1,r_1\in [1,\infty],\ \cfrac{1}{p}=\cfrac{1}{p_1}+\cfrac{1}{p_2}=\cfrac{1}{r_1}+\cfrac{1}{r_2}\\ &\ra \sen{fg

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$$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{\n f}_{W^{1,q}}+\sen{f}_{L^\infty}} }. \eex$$ $$\bex m\geq 3\ra \sen{\n f}_{L^\infty}\leq C\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2} \sex{1+\sen{\n f}_{H^

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(from zhangwuji) \bex \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^3+2n+1}{(n^4+n^2+1)n!},\quad \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n^4+n^2+1)n!}. \eex 解答: (by wangsb) \beex \bea \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^3+2n+1}{(n^4+n^2+1)n!} =&\sum\limits_{n=0}^{\

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