2的幂

下列无限长的数字集合就是我们所知的2的幂：

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为什么叫2的幂？模式是什么？如何用数学来描述？表达式是什么？我们将在本文中一一解答。

我们以三个基本命名开始，称三个基本表达式或子集为：2的正幂，2的负幂，2的0次幂。作为后文的提纲。

2的正幂（The Positive Powers of Two）

想一想一个从2开始并且不断翻倍的集合：{2, 4, 8, 16, 32, 64, …}。这就是无限的2的正幂。

为什么此集合中的数字被称作2的正幂？首先，什么是“正幂”？正幂是“正指数”的简称。例如，可以将2·2·2·2·2改写成2⁵。读作“2执行5次幂运算（two raised to the fifth power）”或“2的5次幂运算（two to the fifth power）”或简称“2的5次方（two to the fifth）。”读法随意，它意味着5个2相乘得到-32。因为我们对2进行幂运算，我们称2⁵为2的幂；更具体一点，2的正幂。

按我们的排列顺序，每一个2的正幂都是前一个数字的两倍。你可以把因子更清楚地写为：

{2, 2·2, 2·2·2, 2·2·2·2, 2·2·2·2·2, 2·2·2·2·2·2, …}.

使用表达式可以写为{2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶, …}。(这里2¹代表2-没有执行乘法）。基于这个模式，我们可以更简明地写作{2ⁿ | n is an integer > 0}，读作“2ⁿ的集合其中n为正整数(the set of all elements 2ⁿ such that n is a positive integer).”

2的负幂（The Negative Powers of Two）

想一想一个从1/2开始并且不断减半的集合：。等价的，设想一个从十进制小数0.5开始并且不断减半的集合:{0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, …}。每种形式都是无限正分数的集合，称为2的负幂（the negative powers of two）。

为什么集合里的数称作2的负幂？首先，什么是负幂或者什么是负指数？这当然不是负数连乘的简称-不是这个意思。那么，形如2^-5 (2的-5次幂或2的-5次方）是什么意思？它意味着求2的5次幂然后取其倒数，得1/2⁵ = 1/32 = 0.03125。比较集合{2, 4, 8, 16, 32, 64, …}和，倒数关系一目了然。

按照我们的排列顺序，每一个2的负幂都是前一个因子的一半。你可以把因子更清楚地写为：

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如果你合并下分母，得到

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可以使用正幂表达式表示为

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认识到这是负指数的话，你可以改写为{2^-1, 2^-2, 2^-3, 2^-4, 2^-5, 2^-6, …}.更简明一点，{2ⁿ | n is an integer < 0}, 读作“2ⁿ全部元素的集合其中n是负整数.”

强调一下-词语“负”修饰的是“幂”而不是“2的幂”。幂是负的，而不是2的幂是负的。我们不能说，例如，-8是2的负幂（另一种不同情形是-它是负的2的幂）。记住-2的负幂是正数。

2的0幂（Two to The Zeroth Power）

至此我们已经讨论过了除了0以外的2的所有整数幂。那2的0次幂或2⁰是什么呢？指数为0的表达式没有像正幂或负幂那样简洁的解释。它只是被定义为1（使其能被算术运算）。如同除了0外的任何数的0次幂，2⁰ = 1.2的0次幂是1，我们定义为一个元素的集合{1}或{2⁰}.

2的幂

如果你合并2的正幂，2的负幂和2的0幂，你得到2的幂的完整集合。这个集合包含了所有2ⁿ其中n是一个整数，或{2ⁿ | n is an integer}. 值为：

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或等价的，包含小数形式分数，

{…, 0.015625, 0.03125, 0.0625, 0.125, 0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …}.

你会留意到在这个集合中我们已经朝相反的方向写入了2的负幂。这是表示在两个方向都无限的集合的标准方式。数列的方向跟大小相关，数字越往左越趋于无限小越往右越趋于无限大。同时这样的写法也包含了一条简单的规律：任意两个相邻的数，右边数为左边数的两倍，左边数为右边数的一半。

其它分区

有时候可以很方便把2的幂以别的方式分区。例如，你可以把此集合认为是两个子集的并集：2的负幂和2的非负幂。2的非负幂包含{2⁰}和2的正幂：{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …} 或 {2ⁿ | n is an integer ≥ 0}。 这种分解经常用于比如二进制数。

类似的，你可以把此集合认为是2的正幂和2的非正幂的并集。2的非正幂包含{2⁰}和2的负幂，写作 或 {2ⁿ | n is an integer ≤ 0}. 只是这种分解方式并不常用。

总结

下表概括了本次讨论的内容：

2的幂和其主要子集。

下面是相同的符号表示：

• 2的幂 = {2ⁿ | n is an integer}.
• 2的正幂 = {2ⁿ | n is an integer > 0}.
• 2的负幂 = {2ⁿ | n is an integer < 0}.
• 2的非负幂 = {2ⁿ | n is an integer ≥ 0}.
• 2的非正幂 = {2ⁿ | n is an integer ≤ 0}.

下面是相同的文字描述版：

2的幂是2进行整数的幂运算。2的幂根据其指数的符号进行分类：正数，负数，非负数，非正数。2的幂都是正数。2的非负幂都是整数，2的负幂都是分数。2的负幂恰好是2的正幂的倒数，可以表示为对应的分数或小数。

尾注

Competing Definitions

如果这个2的幂的定义比你见过的定义更宽泛，那是因为通常的应用中有其它的一些定义(see “A Standard Definition of The Powers of Two”).

集合vs序列

技术上，我们并不严格区分集合和序列。集合定义的元素没有特定次序，而序列定义了特定次序的一系列元素。{1, 2, 4} 和 {4, 1, 2} 是相同的集合，但 (1, 2, 4) 和 (4, 1, 2)是不同的序列。

我们按顺序列出了2的幂并且以此顺序描述其特性，就是说我们已经隐式地定义了一个序列-事实上是一个几何学序列。这不会引起混乱，我们将利用这一事实，使用的措辞为“添加开头6个2的非负幂”。