以前不是很重视 DP ，遇到 DP 就写贪心、暴搜……其实这是非常错误的，现在开始练习 DP 了才发现，我好菜……
对于DP的整理，先从众所周知的背包问题开始。
———————— 01背包：n 个物品，重量和价值分别为 w[i]、v[i]，背包容量 W,求所有挑选方案中价值总和的最大值。
DP 方程 ：dp[j] = max ( dp[j] , dp[ j - w[i] ] + v[i] ) ，其中 dp[j]为使用 j 的容量获得的最大价值，i 为第 i 件物品。
代码：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<iostream>
4 #include<algorithm>
5 #include<cmath>
6 #include<string>
7 using namespace std;
8 int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000];
9 int main(){
10 scanf("%d %d",&n,&W);
11 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
12 for(int i=1;i<=n;i++)
13 for(int j=W;j>=w[i];j--){
14 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
15 }
16 printf("%d",dp[W]);
17 return 0;
18 }
01背包
———————— 完全背包：n 种物品，数目不限，其他的和 01背包 一 样。
DP 方程 ： dp[j] = max ( dp[j] , dp[ j - w[i] + v[i] ) ，是不是感觉和 01背包 一样？其实，就是 一样……-- ^ --|||||，但代码有细微差别……
代码：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<iostream>
4 #include<algorithm>
5 #include<cmath>
6 #include<string>
7 using namespace std;
8 int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000];
9 int main(){
10 scanf("%d %d",&n,&W);
11 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
12 for(int i=1;i<=n;i++)
13 for(int j=w[i];j<=W;j++){
14 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
15 }
16 printf("%d",dp[W]);
17 return 0;
18 }
完全背包
那么，问题来了，为什么 01背包 是倒着
循环，而 完全背包 是正着循环……动笔模拟一下，你会发现且理解 — 正着循环会对一件物品重复选取╮（╯＿╰）╭，而倒着循环就不会……
———————— 多重背包：n 种物品，给定数目 m[i]，其他和 01 背包一样。
DP 方程：dp[j] =max ( dp[j],dp[ j - w[i] ] + v[i] ），&%&……￥怎么又一样，其实 多重背包 就是特殊处理化的 01背包,这个特殊处理就是 二进制拆分。
二进制拆分：众所周知什么是二进制，二进制拆分就是把 m[i] 个物品拆成 1个物品、2个物品组成的新物品、4个物品组成的新物品、8个物品组成的新物品……一 直到不能拆为止，因为二进制可以 表示 出任何实数的嘛。
代码：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<iostream>
4 #include<algorithm>
5 #include<cmath>
6 #include<string>
7 using namespace std;
8 int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000],m[2000];
9 int main(){
10 scanf("%d %d",&n,&W);
11 int x=n;
12 int y;
13 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d %d",&w[i],&v[i],&m[i]);
14 for(int i=1;i<=x;i++){
15 y=1;
16 while(m[i]>y&&m[i]>1){
17 n++;
18 w[n]=y*w[i];
19 v[n]=y*v[i];
20 m[i]-=y;
21 y=y*2;
22 }
23 w[i]=m[i]*w[i];
24 v[i]=m[i]*v[i];
25 }
26 for(int i=1;i<=n;i++)
27 for(int j=W;j>=w[i];j--){
28 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
29 }
30 printf("%d",dp[W]);
31 return 0;
32 }
多重背包
———————— 三种混合背包（01背包、完全背包、多重背包）：这种问题就是给定 m[i]，若 m[i] 为 -1，则为数目无限，否则数目有限，其他的和 01背包 一样。虽然写着是三种 混合背包，但我认为实际上是两种背包，多重背包 和 完全背包。方法就是能拆分的就拆分，在循环的时候，判断一下，如果是 完全背包 就正着循环，不然就倒 着循环…………蛮easy的QAQ~
代码：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<iostream>
4 #include<algorithm>
5 #include<cmath>
6 #include<string>
7 using namespace std;
8 int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000],m[2000];
9 int main(){
10 scanf("%d %d",&n,&W);
11 int x=n;
12 int y;
13 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d %d",&w[i],&v[i],&m[i]);
14 for(int i=1;i<=x;i++) if(m[i]!=-1) {
15 y=1;
16 while(m[i]>y&&m[i]>1){
17 n++;
18 w[n]=y*w[i];
19 v[n]=y*v[i];
20 m[i]-=y;
21 y=y*2;
22 }
23 w[i]=m[i]*w[i];
24 v[i]=m[i]*v[i];
25 }
26 for(int i=1;i<=n;i++)
27 if(m[i]!=-1)
28 for(int j=W;j>=w[i];j--){
29 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
30 }
31 else
32 for(int j=w[i];j<=W;j++)
33 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
34 printf("%d",dp[W]);
35 return 0;
36 }
混合背包