L'Hospital法则及其应用

设 $f\in C[0,+\infty)$, $a$ 为实数, 且存在有限极限 $$\bex \vlm{x}\sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t}. \eex$$ 证明; $f(+\infty)=0$. 证明: 记 $$\bex F(x)=e^{ax}\int_0^x f(t)\rd t, \eex$$ 则 $$\bex F'(x)=e^{ax}\sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t}, \eex$$ $$\bex \vlm{x}\cfrac{F'(x)

l'Hopital法则是我们求极限时的利器.当我们一般的代入法得到一个形如0/0或者∞/∞的无法求取的极限时,l'Hopital法则几乎是万能的,当然,也仅限于0/0型和∞/∞的极限.然而l'Hopital法则的威力如果配合我们的机智是十分强大的,因为许多无法通过代入法求得的极限都可以化成可以解决的形式. 关于l'Hopital法则的证明实际上是很简单的.它的形式为,当f(a)=g(a)=0的时候,f(x)和g(x)在a附近都趋近于0,我们在分式上下同时除以x-a,显然分式并没有改变,x-a是一

1.首先需要使用 罗尔定理 函数f(x)在闭区间[a,b]连续在开区间(a,b)可微,如果f(a)=f(b),那么至少存在一点c使函数导数f'(c)=0 注意需要再(a,b)可微,如果函数有角点,断点,尖点,那么就不一定存在c,使f'(c)=0成立,(当然也有可能成立,如果有其他可做水平切线的点0 涉及的图片参考http://www.cnblogs.com/wdfrog/p/5956840.html 注意f(a)=f(b)=0 等于0不是必需,因为只要f(a)=f(b)那么就可通过上下平移得到f

发信人: ukim (我没有理想), 信区: Mathematics 标 题: Heroes in My Heart ( 序 ) 发信站: 北大未名站 (2002年04月06日14:23:24 星期六), 转信 --------------------------------- To Music For the Encouragement and Smiles She Gave Me --------------------------------- 序 废话几句. 多年以前,我有一个很宏伟的计

本篇文章可以作为变分法的简单入门,包含下面四个部分 泛函的基本概念 预备定理 Euler-Lagrange方程的推导 具体应用 一.泛函的基本概念 变分法的诞生要追溯到Johann Bernoulli(1667-1748)于1696年提出的“最速降线问题”,这个问题是一个求极值问题,但和普通的函数求极值又有不同,它的目标函数的自变量不是一个数,而是一个函数.由于问题很新颖,很快就引起了一些大家的兴趣,其中Johann的哥哥Jacob Bernoulli(1654-1705)给出了较为一般化的解法

多媒体课件 1.1  函数 3.1   定积分的概念和性质 1.2  数列的极限 3.2   不定积分的概念与计算 1.3  函数的极限 3.3   定积分的计算 1.4  连续函数 3.4   定积分的应用 2.1  导数的概念 3.5   反常积分 2.2  求导运算 4.1   行列式 2.3  微分的概念与运算 4.2   矩阵 2.4  微分学中值定理 4.3   逆矩阵 2.5  L'Hospital法则 4.4   线性方程组 2.6  Taylor公式 5.1  向量的外积和混合

1. (1) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界, 在 $x=1$ 处连续, 试求极限 $\dps{\vlm{n}n\int_0^1 x^{n-1}f(x)\rd x}$. (2) 计算以下渐近等式 $$\bex \int_0^1 \cfrac{x^{n-1}}{1+x}\rd x=\cfrac{a}{n}+\cfrac{b}{n^2}+o\sex{\cfrac{1}{n^2}}\quad(n\to\infty) \eex$$ 中的待定常数 $a,b$. 解答: (1) 由 $f$ 在

拓扑学中凝聚点的几个等价定义(2017-06-12 07:51) 江苏省2017年高等数学竞赛本二试题(含解答)(2017-06-10 20:59) 裴礼文数学分析中的典型问题与方法第4章一元函数积分学练习(2017-06-10 11:04) 2017年厦门大学第十四届景润杯数学竞赛试卷(数学类)评分标准(2017-06-05 15:31) 2017年华东师范大学数学竞赛(数学类)试题(2017-06-05 15:28) 裴礼文数学分析中的典型问题与方法第3章一元微分学练习(2017-05-30

试求曲线 $f(x)=xe^\frac{1}{x^2}$ 的渐近线. 解答: 由 $$\bex \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty \eex$$ 知曲线没有水平渐近线.  又由 (这里我们利用了 L'Hospital 法则) $$\bex \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{t\to +\infty} \frac{e^{t^2}}{t} =\lim_{t\to +\infty}