数论2:素数筛

埃氏筛

判断素数可通过试除小于\(\sqrt n\)的素数来实现,那么将其反过来,只要将\(<= \sqrt n\)的素数的倍数都删掉,那么就能得到一张\(<=n\)的素数表,\(O(n\lg \lg n)\)

// 需划掉合数,所以最初假设均为素数,即数组初始化为0
bool composite[maxn];

void generate(int n)
{
    for(int i = 2, lim = sqrt(n); i <= lim; ++i) {
        if(composite[i]) continue;
        for(int j = i*i; j <= n; j += i)
            composite[j] = 1;
    }
    for(int i = 2; i < n; ++i)
        if(!composite[i]) printf("%d ", i);
    putchar(‘\n‘);
}

线性筛

埃氏筛的问题在于一个合数可能会被多个素数删除,造成不必要操作。为解决该问题,注意到每个合数均可写成其最小素因数p乘C,即\(n=pC\),其中必有\(C \ge p\),因为若非如此,当C为素数时,不满足假设“p为最小素因数”;当C为合数时,其必能分解除小于C的素因数,同样不满足假设“p为最小素因数”。线性筛就是通过从小到大地遍历C来保证每个合数均被,其仅被删除一次。

// composite同样初始化为0;np是素数个数;prime保存找到的素数
bool composite[maxn];
int np, prime[maxn];

void generate2(int n)
{
    // 这里的i就是上述讨论中的C
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        if(!composite[i]) prime[np++] = i;
        for(int j = 0; j<np && i*prime[j]<=n; ++j) {
            composite[i*prime[j]] = 1;
            // 为什么在这里break,类比完全背包思考一下 (^_^)
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    for(int i = 0; i < np; ++i)
        printf("%d ", prime[i]);
    putchar(‘\n‘);
}

原文地址:https://www.cnblogs.com/sequix/p/8524770.html

时间: 2024-10-08 10:43:22

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数论线性筛总结 (素数筛,欧拉函数筛,莫比乌斯函数筛,前n个数的约数个数筛)

线性筛 线性筛在数论中起着至关重要的作用,可以大大降低求解一些问题的时间复杂度,使用线性筛有个前提(除了素数筛)所求函数必须是数论上定义的积性函数,即对于正整数n的一个算术函数 f(n),若f(1)=1,且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b),在数论上就称它为积性函数,若a,b不互质也满足的话则称作完全积性函数,下面说明每个筛子是怎么筛的. 最基础的是素数筛,其它三个筛都是以素数筛为前提 素数筛 void get_prime() { int pnum = 0; for(int i = 2;

素数筛&amp;&amp;欧拉筛 BZOJ2818 Gcd BZOJ2190 [SDOI2008]仪仗队

折腾了一晚上很水的数论,整个人都萌萌哒 主要看了欧拉筛和素数筛的O(n)的算法 这个比那个一长串英文名的算法的优势在于没有多次计算一个数,也就是说一个数只筛了一次,主要是在%==0之后跳出实现的,具体的解释看的迷迷糊糊,特别是欧拉函数的求解 http://blog.csdn.net/lerenceray/article/details/12420725 代码如下 1 void ES(){ 2 for(int i=2;i<n;i++){ 3 if (!pd[i]){ 4 prime[++top]=

POJ 2635 The Embarrassed Cryptographer (同余线性方程+素数筛)

题目地址:POJ 2635 先用素数筛把10^6万以内素数筛出来.然后把输入的那个大数转化成数组,并且每三位存成一个数,这样可以节约内存和时间,然后利用同余线性的原理,对那个小整数以内的所有素数枚举,然后判断是否整除,找到最小的能被整除的. 代码如下: #include <iostream> #include <string.h> #include <math.h> #include <queue> #include <algorithm> #i

素数筛 模板

1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 5 using namespace std; 6 7 int prim[3000000]={2,3,5}; 8 //素数是分为基本素数{2,3}.阳素数{6N+1,N>=1}形式的.阴素数{6N-1,N>=1}形式的 9 //为了代码的好写,在这里这样写的 : 10 //数除了{2,3,5}为素数,其他的数可以写成6N,6N+1

素数筛

这是我目前知道的打素数表最快的方法了----  差不多是O(n)的,100000以内花了0.005秒. 1 int prime[100005], np, vis[100005]; 2 3 void get_prime(int n){ 4 mset(prime); mset(vis); 5 np = 0; 6 for(int i = 2; i < n; i++){ 7 if(vis[i] != 1) 8 prime[np++] = i; 9 for(int j = 0, t; j < np &a

ACdream 1112 Alice and Bob (sg函数的变形+素数筛)

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最大公约数 a.b的最大公约数是b,a%b的公约数,如果有一个等于0,最大公约数是a int gcd(int a,int n){ if (b==0) return a; else return gcd(b,a%b); } 或 return b!=0 ? gcd(b,a%b):a; 最小公倍数 是两数的乘积除以他们的最大公约数 素数筛 输出2-10000之间的所有素数 从2开始遍历,标记每个数的所有倍数为非素数 void sushu(){ for (int i=0;i<10000;i++){ ma

欧拉函数+素数筛

欧拉函数,就是欧拉发现的一个关于求素数的的公式,然后我们编个函数实现这个公式. 欧拉发现求小于等于n的正整数中有多少个数与n互质可以用这个公式: euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数,x是不为0的整数.euler(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身). 欧拉公式的延伸:一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2. 其实直接看模板加注解想想就能看懂 筛选的原理就是找出n的因子,剔除含有

Light oj 1197 - Help Hanzo (素数筛技巧)

题目链接:http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1197 给你a和b求a到b之间的素数个数. 先在小区间素数筛,大区间就用类似素数筛的想法,把a到b之间不是素数的标记出来.因为b-a最多1e5的大小,所以每组数据的时间复杂度最多就o(1e5 log1e5). 1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 using names