题目：制造括号序列
难度：Medium
题目内容：
Given n pairs of parentheses, write a function to generate all combinations of well-formed parentheses.
翻译：
给定n对括号，写一个函数来生成所有格式正确的括号组合。
For example, given n = 3, a solution set is:
[ "((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()" ]
我的思路：这应该是典型的卡特兰数的应用的一种吧，对于这种输出所有**的可能组合，在一眼看不出来的情况下应该考虑卡特兰数，就是f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + ... + f(n-1)f(0)，在这个题目上应该就是说，首先有n个括号，一共2n个符号，最左边的符号只能为"("并且与其搭配的右括号只能出现在 2i 的位置，所以此时第一个括号把整个序列分成两部分 （2~2i-1） 与后面的所有，这两个部分还能继续往下分，所以有此公式 : f(n) = ∑ f(i)f(n-1-i)
确定是卡特兰数之后，一般考虑使用递归法。
1 public List<String> generateParenthesis(int n) {
2 List<String> ans = new ArrayList();
3 if (n == 0) {
4 ans.add("");
5 } else {
6 for (int i = 0; i < n; i++)
7 for (String in: generateParenthesis(i))
8 for (String out: generateParenthesis(n-1-i))
9 ans.add("(" + in + ")" + out);
10 }
11 return ans;
12 }
我的复杂度： 时间：O（2n ! / (n!(n+1))） 空间：O（2n ! / (n!(n+1))） 递归次数就是计算次数，就是卡特兰数的计算公式。
编码过程中遇见问题：
1、在写遍历 in ， 与 out 的时候，一开始是还写了个List<String> 来接函数结果，后来参考了下答案上面，才想着对于后面用不着的list可以直接使用foreach遍历
参考答案代码：
1 public List<String> generateParenthesis(int n) {
2 List<String> ans = new ArrayList();
3 backtrack(ans, "", 0, 0, n);
4 return ans;
5 }
6
7 public void backtrack(List<String> ans, String cur, int open, int close, int max){
8 if (cur.length() == max * 2) {
9 ans.add(cur);
10 return;
11 }
12
13 if (open < max)
14 backtrack(ans, cur+"(", open+1, close, max);
15 if (close < open)
16 backtrack(ans, cur+")", open, close+1, max);
17 }
参考答案复杂度：时间：O（2n ! / (n!(n+1))） 空间：O（2n ! / (n!(n+1))）
参考答案思路： 使用了另外使用了一个方法，没有用卡特兰数的思想，而是使用了经典的递归思想“走一步看一步”，使不了解卡特兰数的人更容易看懂：
每要添加一个符号的时候都分两种情况。
a、如果已开的括号数“（”小于要打开的括号数，并且再打开一个括号“+（”，将已开括号数++，并调用下一层；
b、关闭括号数“)”小于已经打开括号数，则将关闭一个括号“+）”，将关闭数++，并调用下一层。
最后当str的长度为n的2倍时，把它加入结果集并返回。
这样一来每一种情况也能全部考虑到。
原文地址：https://www.cnblogs.com/Xieyang-blog/p/8922636.html