浅谈扩展欧几里得算法(exgcd)

在讲解扩展欧几里得之前我们先回顾下辗转相除法：

\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)当\(a\%b==0\)的时候b即为所求最大公约数

好了切入正题：

简单地来说exgcd函数求解的是\(ax+by=gcd(a,b)\)的最小正整数解。根据数论的相关知识，一定存在一组解\(x,y\)使得\(ax+by=gcd(a,b)\)。那就来谈谈具体如何来求解吧。

根据辗转相除法的内容\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)我们可以得到:\[ax_1+by_1=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=bx_2+a\%by_2······①\]

又由于\(a\%b=a- \lfloor a\div b\rfloor\times b\)

在计算机中\(a\%b= \lfloor a\div b\rfloor\times b=a/b*b%\)所以\[bx_2+a\%by_2=bx_2+(a-a/b*b)y_2\]

将等式①变形得:\[ax_1+b(y_1+a/ b*y_2)=ay_2+bx_2\]

因为等式左右两边结构相同我们可以解得：\[\begin{cases}x_1=y_2\\y_1=x_2-a/b*y_2\end{cases}\]

在扩展欧几里得算法的最后一步即\(b=0\)的时候，显然有一对整数\(x=1,y=0\)使得\[a*1+0*0=gcd(a,0)\]

那么我们就可以通过编程实现exgcd了，请仔细体验下代码的精妙之处：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(b) {
        int d=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    } else {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/kcfzyhq/p/8485063.html