SRM489 Div1 1000pts：AppleTree

挺优秀的一道题，想出做法时感觉很惊艳。

题意：

数轴上有\(D\)个连续整数刻度，有\(N\)棵树要种在这些刻度上，其中第\(i\)棵与两旁（如果有的话）相邻的树至少要相距\(R_i\)，问方法数。

\(1 \leq N , R_i \leq 40\)

思路：

首先，如果确定了种树的顺序，就确定了相邻树的最小间距。把\(D\)减掉最小间距之和，所得的就是“冗余刻度”的数量。

把这个数量分配给\(N+1\)段间隙，用插板法可以求出方法数。

所以问题在于，对于每一个\(L\)，求出1到\(N\)的排列\(P\)的数量，满足：

\[\sum_{i=1}^{N-1} \mathrm{max}(R_i, R_{i+1})=L\]

注意到，对于使\(R_i\)最大的\(i\)，它的两侧种的是什么树，不影响这两段间隙的最小长度。

根据套路，这个时候我们应该在\(i\)的位置把排列割开并分别处理。

对于一个1到\(N\)的子集的长度为\(l\)的排列\(P\)，定义其代价为：\(\sum_{i=1}^{l-1} \mathrm{max}(R_i, R_{i+1})\)。

于是想到DP状态：\(dp[i][j][k]\)表示，1到\(i\)这\(i\)个数，组成了\(j\)个不相交排列，排列的代价总和为\(k\)的方法数。

转移时考虑第\(i\)个数在一个排列的两端还是中间，删除之并转移即可。

注意到\(i,j \leq 40\)，\(k \leq 1600\)，故复杂度没有问题。

原文地址：https://www.cnblogs.com/turboboost/p/AppleTree.html