【数论】【筛法求素数】【欧拉函数】bzoj2818 Gcd

gcd(x,y)(1<=x,y<=n)为素数(暂且把(x,y)和(y,x)算一种) 的个数

<=> gcd(x/k,y/k)=1，k是x的质因数 的个数

<=> Σφ(x/k) (1<=x<=n,k是x的质因子)

这样的复杂度无法接受，

∴我们可以考虑枚举k，计算Σφ(q/k) (k是n以内的质数，q是n以内k的倍数)，即Σ[φ(1)+φ(2)+φ(3)+...+φ(p)] (p=n/k)

介个phi的前缀和可以预处理粗来。

但是(x,y)和(y,x)并不同，所以在计算前缀和的时候，对于φ(x) (x≠1)，要乘2再累加，即Σ[φ(1)+φ(2)*2+φ(3)*2+...+φ(p)*2] (p=n/k)。

∴对每个n以内的素数，我们可以O(1)地得到其对答案的贡献。

∴时间复杂度花费在筛素数和预处理phi上，为O(n*log(log(n)))或O(n)[线性筛]。

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 int phi[10000001],n;
 5 bool unPrime[10000001];
 6 ll ans,sum[10000001];
 7 void Shai_Prime()
 8 {
 9     unPrime[1]=1;
10     for(ll i=2;i<=n;i++) if(!unPrime[i])
11       {
12           ans+=sum[n/i];
13           for(ll j=i*i;j<=n;j+=i)
14           unPrime[j]=1;
15       }
16 }
17 void phi_table()
18 {
19     phi[1]=1;//规定phi(1)=1;
20     for(int i=2;i<=n;i++)
21       if(!phi[i])//若i是质数(类似筛法的思想)
22         for(int j=i;j<=n;j+=i)//i一定是j的质因数
23           {
24             if(!phi[j]) phi[j]=j;
25             phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
26           }
27 }
28 void init_sum()
29 {
30     sum[1]=phi[1];
31     for(int i=2;i<=n;i++) sum[i]=(ll)(phi[i]<<1)+sum[i-1];
32 }
33 int main()
34 {
35     scanf("%d",&n); phi_table(); init_sum(); Shai_Prime();
36     printf("%lld\n",ans);
37     return 0;
38 }