更新：5 JUN 2016
【多元函数Taylor展开】n元函数\(y=f(X)\)在\(X_0\)点的某个领域\(B(X_0,r)\)内二阶连续可微，则\(\forall X\in B(X_0,r), \exists \theta\in (0,1)\)，使得
\(f(X)=f(X_0)+Jf(X_0)\Delta X+\dfrac{1}{2}(\Delta X)^TH(X_0+\theta\Delta X)\Delta X\)
其中\(\Delta X=X-X_0\)为n维列向量；
\(Jf(X_0)\)即\(f(X)\)在\(X_0\)处的Jacobi矩阵；
\(H(X)\)为\(f(X)\)在\(X\)处的Hesse矩阵。
上面的写法照应Lagrange型余项。当然也可以写成高一阶的Peano型余项形式
\(f(X)=f(X_0)+Jf(X_0)\Delta X+\dfrac{1}{2}(\Delta X)^TH(X_0)\Delta X+\alpha(\Delta X)\)
【Hesse矩阵】
\(H(X)=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots &\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2} &\cdots& \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n} \\ \vdots& & & \vdots \\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} &\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} & \cdots &\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{bmatrix} \)
对于n元函数，相当于是n元m=1维向量值函数，其Jacobi矩阵即其梯度向量的转置（见Jacobi矩阵），可以视为其一阶导数；
那么n元函数的Hesse矩阵相当于其二阶导数。
【应用】在计算化学中求势能面（能量作为多元函数）中某极值点处的曲面近似时即使用Taylor展开，这时要计算Hesse矩阵。