数论四大定理

威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理、费马小定理并称数论四大定理。

威尔逊定理

若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。

欧拉定理

欧拉定理，也称费马-欧拉定理。

若n,a为正整数，且n,a互素，即gcd(a,n) = 1，则

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

孙子定理

孙子定理，又称中国剩余定理。

公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。

明朝程大位用歌谣给出了该题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。”

以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的馀数，15乘7除所得的余数，然後总加起来，除以105的余数就是答案。

费马小定理

假如p是质数，若p不能整除a，则 a^(p-1) ≡1（mod p），若p能整除a，则a^(p-1) ≡0（mod p）。

若p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

证明：

因为p是质数，且（a，p)=1，所以φ(p)=p-1。由欧拉定理可得a^(p-1) ≡1（mod p）。证毕。对于该式又有a^p ≡a（mod p），所以，费马小定理的另一种表述为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^p ≡a（mod p）。

欧拉定理证明

设x（1），x（2），...，x(φ(n))是一个以n为模的简系，则ax（1），ax（2），...，ax（φ(n) ）也是一个以n为模的简系（因为（a，n）=1）。

于是有ax（1）ax（2）...ax（φ(n) ）≡x（1）x（2）...x(φ(n))（mod n），

所以a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。

证毕。