折线分割平面

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Problem Description

我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(0<n<=10000),表示折线的数量。

Output

对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。

Sample Input

2
1
2

Sample Output

2
7

解题思路

可将每个折线看成是两条直线，但是少了一半。因此每一条折线比两条直线分割的面的部分少2。因此n条折线比2n条直线分割平面形成的部分少2n。

初始代码

#include<stdio.h>
int a[21000];
int main()
{
	int t,n;
	int i,j,k;
	a[1]=2;
	a[2]=4;//a[2]=a[1]+2=a[2-1]+2
	a[3]=7;//a[3]=a[2]+3=a[3-1]+3
	for(i=4;i<=20000;i++)
	    a[i]=a[i-1]+i;
	/*可将每个折线看成是两条直线，但是少了一半。
      因此每一条折线比两条直线分割的面的部分少2。
	  因此n条折线比2n条直线分割平面形成的部分少2n。*/
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",a[2*n]-2*n);
	}
	return 0;
}

优化：

因为a[i]=a[i-1]+i;

a[i-1]=a[i-2]+i-1;

a[i-2]=a[i-3]+i-2;

...

a[i-(i-2)]=a[i-(i-2)-1]+i-(i-2);

a[i]=a[i-(i-2)-1]+2+...+i;

a[i]=a[1]+2+...+i;

又因为a[1]=2;

a[i]=2+2+...+i;

a[i]=1+1+2+...+i;

a[i]=1+(i+1)*i/2;

所以f(n)=(1+2*n)*2*n/2+1-2*n

=2*n*n-n+1；

优化后代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
	int t,n;
	int i,j;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",2*n*n-n+1);
	}
	return 0;
}