LA 4119 (差分数列 多项式) Always an integer

题意：

给出一个形如(P)/D的多项式，其中P是n的整系数多项式，D为整数。

问是否对于所有的正整数n，该多项式的值都是整数。

分析：

可以用数学归纳法证明，若P(n)是k次多项式，则P(n+1) - P(n)为k-1次多项式。

P是n的一次多项式时，P是一个等差数列，只要验证P(1)和P(2)是D的倍数即可。

P是n的二次多项式时，只要验证第一项为D的倍数，且相邻两项的差值也是D的倍数即可。相邻两项的差值为一次多项式，所以要验证两项，加上前面验证的第一项，所以共验证P(1)、P(2)和P(3)三项。

一般地，要验证k次多项式，只要验证P(1)...P(k+1)即可。

计算多项式的值可以用高中数学课本讲到过的秦九韶算法。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <string>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdlib>
 6 using namespace std;
 7
 8 const int maxn = 100 + 10;
 9 int a[maxn], p;//a[i]表示n^i对应的系数，p为最高系数
10
11 void parse_polynomial(string s)
12 {
13     int i = 0, len = s.size();
14     while(i < len)
15     {
16         int sign = 1;
17         if(s[i] == ‘+‘) i++;
18         if(s[i] == ‘-‘) { i++; sign = -1; }
19         int v = 0;//系数
20         while(i < len && isdigit(s[i])) v = v * 10 + s[i++] - ‘0‘;
21         v *= sign;
22         if(i == len) a[0] = v;//常数项
23         else
24         {
25             if(v == 0) v = sign;
26             int u = 1;//没有指数
27             if(s[++i] == ‘^‘)//有指数
28             {
29                 u = 0;
30                 i++;
31                 while(isdigit(s[i])) u = u * 10 + s[i++] - ‘0‘;
32             }
33             a[u] = v;
34             if(u > p) p = u;
35         }
36     }
37 }
38
39 int mod(int x, int MOD)
40 {
41     int ans = 0;
42     for(int i = p; i >= 0; i--)
43     {
44         ans = (long long) ans * x % MOD;//注意不要溢出
45         ans = ((long long) ans + a[i]) % MOD;
46     }
47     return ans;
48 }
49
50 bool check(string& expr)
51 {
52     int p = expr.find(‘/‘);
53     parse_polynomial(expr.substr(1, p-2));
54     int D = atoi(expr.substr(p+1).c_str());
55     for(int i = 1; i <= p+1; i++)
56         if(mod(i, D) != 0) return false;
57     return true;
58 }
59
60 int main()
61 {
62     //freopen("in.txt", "r", stdin);
63
64     int kase = 1;
65     string expr;
66     while(cin >> expr)
67     {
68         if(expr[0] == ‘.‘) break;
69         memset(a, 0, sizeof(a));
70         p = 0;
71         printf("Case %d: %s\n", kase++, check(expr) ? "Always an integer" : "Not always an integer");
72     }
73
74     return 0;
75 }

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