《Mathematical Olympiad——组合数学》——抽屉原理

抽屉原理可以说是组合数学中最简单易懂的一个原理了，其最简单最原始的一个表达形式：对于n本书放到n-1个抽屉中，保证每个抽屉都要有书，则必存在一个抽屉中有2本书。但是这个简单的原理在很多问题中都能够巧妙的应用到，融合将问题一步步抽象转化来接近抽屉原理的原始模型，是用好抽屉原理的关键。

问题一：两个半径相等的圆盘上各有一个内接正2n边形，每个正2n边形的顶点有一半染上黄色，一般染上蓝色，将这一个圆盘放在另一个圆盘上并使得两个正2n边形的顶点均重合，这样得到2n对顶点，如果一对顶点中两个重合的顶点颜色相同，则称其为“匹配点对”。证明：存在一种放置方式，使得至少有n对匹配点对。

分析：我们首先从任意一种重合方式开始，用a1表示当前方式含有的匹配点对的个数，然后我们将其中一个圆盘旋转2n - 1次，每次旋转的角度π/n，这样我们便得到了多有的放置方法——{a1,a2,a3……a(2n)}。考察所有情况匹配点对的总和，利用简单的计数原理，我们得到等式：a1 + a2 + a3+……+a(2n) = 2n*n，由此再利用抽屉原理，得证。